Решите неравенства: 1) $\frac{12}{x^2} + \frac{4}{x} + 1 < 0$

1. Чтобы решить неравенство $$\frac{12}{x^2} + \frac{4}{x} + 1 < 0$$, приведем все к общему знаменателю: $$\frac{12 + 4x + x^2}{x^2} < 0$$ Перепишем числитель в более привычном виде: $$\frac{x^2 + 4x + 12}{x^2} < 0$$ Рассмотрим числитель $x^2 + 4x + 12$. Найдем его дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), то квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 12$ всегда положителен для любых действительных значений $x$. То есть $x^2 + 4x + 12 > 0$. Теперь рассмотрим знаменатель $x^2$. Из определения дроби известно, что $x^2 \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. Для всех остальных значений $x$, $x^2$ всегда положителен ($x^2 > 0$). Таким образом, у нас есть дробь, у которой числитель всегда положительный ($x^2 + 4x + 12 > 0$) и знаменатель тоже всегда положительный ($x^2 > 0$ при $x \neq 0$). Значит, вся дробь $\frac{x^2 + 4x + 12}{x^2}$ всегда будет положительна. $$\frac{x^2 + 4x + 12}{x^2} > 0$$ Нам нужно, чтобы дробь была меньше нуля: $\frac{x^2 + 4x + 12}{x^2} < 0$. Поскольку дробь всегда положительна, то нет таких значений $x$, при которых это неравенство будет выполняться. **Ответ: нет решений** 2. Решим неравенство $$\frac{9}{(x+2)^2} \ge 1$$ Для начала отметим, что $(x+2)^2 \neq 0$, то есть $x+2 \neq 0$, значит $x \neq -2$. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$\frac{9}{(x+2)^2} - 1 \ge 0$$ $$\frac{9 - (x+2)^2}{(x+2)^2} \ge 0$$ Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3$ и $b=x+2$: $$\frac{(3 - (x+2))(3 + (x+2))}{(x+2)^2} \ge 0$$ Упростим выражения в скобках: $$\frac{(3 - x - 2)(3 + x + 2)}{(x+2)^2} \ge 0$$ $$\frac{(1 - x)(5 + x)}{(x+2)^2} \ge 0$$ Теперь используем метод интервалов. Нули числителя: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$ и $5 + x = 0 \Rightarrow x = -5$. Нуль знаменателя: $(x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Корень $x=-2$ является корнем четной кратности. Отметим эти точки на числовой прямой: $-5$, $-2$, $1$. Разобьем числовую прямую на интервалы: * $(-\infty, -5)$: Возьмем $x = -6$: $\frac{(1 - (-6))(5 + (-6))}{(-6+2)^2} = \frac{(7)(-1)}{(-4)^2} = \frac{-7}{16} < 0$. * $(-5, -2)$: Возьмем $x = -3$: $\frac{(1 - (-3))(5 + (-3))}{(-3+2)^2} = \frac{(4)(2)}{(-1)^2} = \frac{8}{1} = 8 > 0$. * $(-2, 1)$: Возьмем $x = 0$: $\frac{(1 - 0)(5 + 0)}{(0+2)^2} = \frac{(1)(5)}{(2)^2} = \frac{5}{4} > 0$. * $(1, +\infty)$: Возьмем $x = 2$: $\frac{(1 - 2)(5 + 2)}{(2+2)^2} = \frac{(-1)(7)}{(4)^2} = \frac{-7}{16} < 0$. Нам нужны интервалы, где выражение $\ge 0$. Это $[-5, -2)$ и $(-2, 1]$. Точка $x=-2$ исключается, так как в ней знаменатель равен нулю. **Ответ:** $x \in [-5, -2) \cup (-2, 1]$