Решите неравенство $\sqrt{2-\sqrt{x}} < \sqrt{x+1}$

10) Решим неравенство $\sqrt{2-\sqrt{x}} < \sqrt{x+1}$. Сначала найдём область определения неравенства: 1. $x \ge 0$ (под корнем $\sqrt{x}$) 2. $2 - \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \le 2 \Rightarrow x \le 4$ (под корнем $\sqrt{2-\sqrt{x}}$) 3. $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$ (под корнем $\sqrt{x+1}$) Объединяя все условия, получаем область определения: $0 \le x \le 4$. Возведём обе части неравенства в квадрат, так как обе части неотрицательны на ОДЗ: $$(\sqrt{2-\sqrt{x}})^2 < (\sqrt{x+1})^2$$ $$2 - \sqrt{x} < x + 1$$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$0 < x + \sqrt{x} - 1$$ Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $t \ge 0$. Неравенство примет вид: $$t^2 + t - 1 > 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $t^2 + t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$ $$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Корни: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ и $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $t = \sqrt{x}$ и $t \ge 0$, нас интересует только положительный корень $t_2$. Заметим, что $t_1 < 0$, поэтому он не подходит для $t = \sqrt{x}$. Так как парабола $t^2 + t - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство $t^2 + t - 1 > 0$ выполняется при $t < t_1$ или $t > t_2$. С учётом $t \ge 0$, получаем $t > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Теперь вернёмся к $x$: $t = \sqrt{x}$. $$\sqrt{x} > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$ Возведём обе части в квадрат (обе части положительны): $$x > \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2$$ $$x > \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4}$$ $$x > \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}$$ $$x > \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$$ Теперь учтём область определения $0 \le x \le 4$. Нам нужно найти пересечение интервалов $x > \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ и $0 \le x \le 4$. Приближённое значение $\sqrt{5} \approx 2.236$. Тогда $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 - 2.236}{2} = \frac{0.764}{2} = 0.382$. Следовательно, $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382$, что больше 0. Также нужно убедиться, что $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < 4$. Это очевидно, так как $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ - это число между 0 и 1. Значит, решение неравенства с учётом ОДЗ: $$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < x \le 4$$ **Ответ:** $x \in \left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; 4\right]$