Постройте график функции $y=\begin{cases} 3-|x|, & \text{при } x<2 \\ x^2-8x+11, & \text{при } x\ge2 \end{cases}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

1. Построим график функции $y = 3 - |x|$ при $x < 2$. Если $x < 0$, то $y = 3 - (-x) = 3 + x$. Это прямая линия. Если $0 \le x < 2$, то $y = 3 - x$. Это тоже прямая линия. 2. Построим график функции $y = x^2 - 8x + 11$ при $x \ge 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы. Координата $x$ вершины: $x_в = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$. Координата $y$ вершины: $y_в = 4^2 - 8 \cdot 4 + 11 = 16 - 32 + 11 = -5$. Значит, вершина параболы в точке $(4; -5)$. Найдем значение функции на границе $x=2$: $y = 2^2 - 8 \cdot 2 + 11 = 4 - 16 + 11 = -1$. График функции: :::div .chart-container @chart-1::: Чтобы прямая $y=m$ имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через определенные значения $y$. Посмотрим на график: * При $y=-1$, прямая $y=-1$ будет иметь две общие точки (одну на левой части графика и одну на правой, так как точка $(2;-1)$ является частью обеих частей функции). Однако, для $x<2$ функция $y = 3-|x|$ при $x=2$ стремится к $y=1$. При $x=2$ в первом случае будет $y=3-2=1$, во втором $y=2^2-8(2)+11=4-16+11=-1$. То есть, при $x=2$ значения функций не совпадают. Давай построим более точно: Для $y=3-|x|$: При $x=-2, y=3-|-2| = 3-2=1$ При $x=-1, y=3-|-1| = 3-1=2$ При $x=0, y=3-|0| = 3-0=3$ При $x=1, y=3-|1| = 3-1=2$ При $x=2, y=3-|2| = 3-2=1$ (но эта точка не включается) Для $y=x^2-8x+11$: При $x=2, y=2^2-8(2)+11 = 4-16+11 = -1$ При $x=3, y=3^2-8(3)+11 = 9-24+11 = -4$ При $x=4, y=4^2-8(4)+11 = 16-32+11 = -5$ При $x=5, y=5^2-8(5)+11 = 25-40+11 = -4$ При $x=6, y=6^2-8(6)+11 = 36-48+11 = -1$ Вершина параболы: $(4; -5)$. Вершина "уголка" (модуля): $(0; 3)$. Прямая $y=m$ будет иметь ровно три общие точки в двух случаях: 1. Когда прямая проходит через вершину параболы, то есть $m = -5$. В этом случае будет одна точка на параболе и две точки на графике $y = 3 - |x|$ (так как $-5 < 1$, где $y=1$ это значение $3-|x|$ при $x=\pm2$) При $m = -5$, имеем $y = -5$. Это одна точка с параболой в вершине $(4, -5)$. И $3-|x| = -5 \Rightarrow |x| = 8 \Rightarrow x = \pm 8$. Обе точки $x=-8$ и $x=8$ удовлетворяют условию $x < 2$ (для $x=-8$) и $x \ge 2$ (для $x=8$ – но это не относится к этой части графика). Так как $x < 2$ для $3-|x|$, то $x=-8$ это одна точка. Где вторая? Нет, $x=8$ не подходит. Значит, прямая $y=-5$ пересекает $y=3-|x|$ в одной точке $x=-8$. Итого: 1 точка ($x=4$) + 1 точка ($x=-8$) = 2 точки. Это не 3. Давай внимательнее. Три точки могут быть, когда прямая проходит: * Через точку "стыка" двух частей функции, если бы она была одна и та же. Но тут $y(2)=1$ для первой части и $y(2)=-1$ для второй части. Так что это не одна точка. * Через вершину параболы, если при этом она пересекает другую часть функции в двух точках. * Через вершину модуля, если при этом она пересекает другую часть функции в двух точках. Рассмотрим график: 1. Вершина "уголка" $y = 3 - |x|$ находится в точке $(0; 3)$. Если $m=3$, то $y=3$. С $y=3-|x|$ эта прямая пересекается только в одной точке $(0;3)$ (потому что для $x < 2$, а для $x=0$ это входит в диапазон). $x^2-8x+11=3 \Rightarrow x^2-8x+8=0$. $D = (-8)^2 - 4(1)(8) = 64-32 = 32$. $x = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$. $4 + 2\sqrt{2} \approx 4+2(1.41) = 4+2.82 = 6.82$. Эта точка $x \ge 2$ подходит. $4 - 2\sqrt{2} \approx 4-2.82 = 1.18$. Эта точка не подходит, так как для $x^2-8x+11$ нужно $x \ge 2$. Значит, при $m=3$, у нас 1 точка из модуля $(0;3)$ и 1 точка из параболы $(4+2\sqrt{2}; 3)$. Всего 2 точки. Не подходит. 2. Вершина параболы находится в точке $(4; -5)$. Если $m=-5$, то $y=-5$. С $y=x^2-8x+11$ эта прямая имеет одну точку $(4;-5)$. $3-|x| = -5 \Rightarrow |x|=8$. Так как $x < 2$, то подходит $x=-8$. Одна точка $(-8;-5)$. Итого: 1 точка $(4;-5)$ и 1 точка $(-8;-5)$. Всего 2 точки. Не подходит. 3. Теперь рассмотрим значения функции на границе $x=2$. Для $x < 2$: $y = 3 - |x|$. При $x=2$ (не включая) $y$ стремится к $3-2=1$. Для $x \ge 2$: $y = x^2 - 8x + 11$. При $x=2$ (включая) $y = 2^2 - 8(2) + 11 = 4 - 16 + 11 = -1$. Нам нужно, чтобы $y=m$ пересекала график ровно в трех точках. * Если $m = -1$: - Одна точка на параболе $y=x^2-8x+11$ при $x=2$. ($2;-1$) - Ищем точки пересечения с $y=x^2-8x+11$ при $x \ge 2$: $x^2-8x+11=-1 \Rightarrow x^2-8x+12=0$. $(x-2)(x-6)=0$. $x=2$ и $x=6$. Значит, две точки: $(2;-1)$ и $(6;-1)$. - Ищем точки пересечения с $y=3-|x|$ при $x < 2$: $3-|x|=-1 \Rightarrow |x|=4$. Так как $x<2$, то $x=-4$. Одна точка $(-4;-1)$. Итого: 3 точки. Это подходящий вариант. * Если $m=1$: - Ищем точки пересечения с $y=3-|x|$ при $x < 2$: $3-|x|=1 \Rightarrow |x|=2$. Так как $x<2$, то $x=-2$. Одна точка $(-2;1)$. ($x=2$ не входит в этот интервал) - Ищем точки пересечения с $y=x^2-8x+11$ при $x \ge 2$: $x^2-8x+11=1 \Rightarrow x^2-8x+10=0$. $D = (-8)^2 - 4(1)(10) = 64-40 = 24$. $x = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 4 \pm \sqrt{6}$. $4 + \sqrt{6} \approx 4+2.45 = 6.45$. Подходит, так как $x \ge 2$. $4 - \sqrt{6} \approx 4-2.45 = 1.55$. Не подходит, так как $x \ge 2$ не выполняется. Итого: 1 точка из модуля и 1 точка из параболы. Всего 2 точки. Не подходит. Пересечения: - $m=3$: точка $(0,3)$ из модуля, и $(4+2\sqrt{2}, 3)$ из параболы. 2 точки. - $m \in (-1, 3)$ и $m \ne 1$: - $y=3-|x|$ при $x<2$: две точки (кроме $m=1$ и $m=3$). - $y=x^2-8x+11$ при $x \ge 2$: две точки, если $m > -5$. Итого 4 точки. - $m=-5$: $(4, -5)$ из параболы, $(-8, -5)$ из модуля. 2 точки. - $m<-5$: две точки из модуля, ни одной из параболы (2 точки). Случай, когда $m=1$ (значение $3-|x|$ при $x=2$): - $3-|x|=1 \Rightarrow |x|=2$. Поскольку $x<2$, то $x=-2$. Это одна точка $(-2,1)$. - $x^2-8x+11=1 \Rightarrow x^2-8x+10=0$. $x = 4 \pm \sqrt{6}$. $4+\sqrt{6} \approx 6.45 > 2$. $4-\sqrt{6} \approx 1.55 < 2$, поэтому не подходит. Одна точка $(4+\sqrt{6}, 1)$. Итого 2 точки. Случай, когда $m=-1$ (значение $x^2-8x+11$ при $x=2$): - $3-|x|=-1 \Rightarrow |x|=4$. Поскольку $x<2$, то $x=-4$. Это одна точка $(-4,-1)$. - $x^2-8x+11=-1 \Rightarrow x^2-8x+12=0$. $(x-2)(x-6)=0$. $x=2$ и $x=6$. Обе точки $(2,-1)$ и $(6,-1)$ подходят, так как $x \ge 2$. Итого 3 точки. Получается, что $m=-1$ является единственным значением. **Ответ:** $m=-1$