Решите уравнение $x^8 = (12-x)^4$

Решить уравнение $x^8 = (12-x)^4$. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $$x^8 - (12-x)^4 = 0$$ Заметим, что $x^8 = (x^4)^2$ и $(12-x)^4 = ((12-x)^2)^2$. Это разность квадратов: $$(x^4)^2 - ((12-x)^2)^2 = 0$$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(x^4 - (12-x)^2)(x^4 + (12-x)^2) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: **Случай 1:** $x^4 - (12-x)^2 = 0$ Перенесем $(12-x)^2$ в правую часть: $$x^4 = (12-x)^2$$ Извлечем квадратный корень из обеих частей. Это дает два подслучая: **Подслучай 1.1:** $x^2 = 12-x$ Перенесем все в одну сторону и решим квадратное уравнение: $$x^2 + x - 12 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$. $$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ **Подслучай 1.2:** $x^2 = -(12-x)$ Раскроем скобки: $$x^2 = -12 + x$$ Перенесем все в одну сторону: $$x^2 - x + 12 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней. **Случай 2:** $x^4 + (12-x)^2 = 0$ Заметим, что $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, и $(12-x)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба числа равны нулю. То есть, $x^4 = 0$ и $(12-x)^2 = 0$. Из $x^4 = 0$ следует $x=0$. Из $(12-x)^2 = 0$ следует $12-x = 0$, то есть $x=12$. Эти два условия ($x=0$ и $x=12$) не могут выполняться одновременно. Следовательно, уравнение $x^4 + (12-x)^2 = 0$ не имеет действительных решений. Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются $x=3$ и $x=-4$. **Ответ:** $-4; 3$