Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

4. Освободи дробь от знака корня в знаменателе: a) Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$: $$\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$$ **Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{10}$** б) Чтобы избавиться от корня в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $\sqrt{7}+1$: $$\frac{8}{\sqrt{7}-1} = \frac{8 \cdot (\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1) \cdot (\sqrt{7}+1)} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{8(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}$$ **Ответ: $\frac{4(\sqrt{7}+1)}{3}$** 5. Докажи, что значение выражения $\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1}$ является рациональным числом. Приведём дроби к общему знаменателю и выполним вычитание: $$\frac{1}{2\sqrt{3}+1} - \frac{1}{2\sqrt{3}-1} = \frac{(2\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)}$$ Знаменатель является разностью квадратов: $(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1) = (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$. Числитель: $$ (2\sqrt{3}-1) - (2\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}-1 = -2$$ Таким образом, выражение равно: $$\frac{-2}{11}$$ Так как $-2$ и $11$ — целые числа, а $11 \neq 0$, то $\frac{-2}{11}$ является рациональным числом. Это и требовалось доказать. 6. При каких значениях $a$ дробь $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{a-5}$ принимает наибольшее значение? Сначала упростим дробь. Заметим, что знаменатель $a-5$ можно представить как разность квадратов: $a-5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})$. Тогда дробь примет вид: $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{(\sqrt{a}-\sqrt{5})(\sqrt{a}+\sqrt{5})}$$ При условии, что $\sqrt{a}-\sqrt{5} \neq 0$, то есть $a \neq 5$, мы можем сократить дробь на $(\sqrt{a}-\sqrt{5})$: $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{5}}$$ Чтобы дробь $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{5}}$ принимала наибольшее значение, её знаменатель $\sqrt{a}+\sqrt{5}$ должен быть наименьшим (но положительным, так как числитель положительный). Также, по условиям существования $\sqrt{a}$, должно быть $a \ge 0$. Так как $\sqrt{5}$ — постоянное положительное число, то для минимизации $\sqrt{a}+\sqrt{5}$, нужно минимизировать $\sqrt{a}$. Наименьшее значение $\sqrt{a}$ равно $0$, когда $a=0$. Если $a=0$, то $\sqrt{a}+\sqrt{5} = \sqrt{0}+\sqrt{5} = 0+\sqrt{5} = \sqrt{5}$. В этом случае значение дроби будет $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Если $a=5$, дробь не определена, так как знаменатель $a-5=0$. Но мы сократили на $(\sqrt{a}-\sqrt{5})$, что требует $a \neq 5$. В выражении $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{5}}$ подставлять $a=5$ можно, и мы получим $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5}}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$. Это значение меньше, чем $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Таким образом, наибольшее значение дробь принимает при наименьшем возможном значении $a$, при котором выражение имеет смысл, то есть при $a=0$. **Ответ: при $a=0$.**