Найдите точку минимума функции $y=(3-x) \cdot e^{3-x}$

1. Чтобы найти точку минимума функции $y=(3-x) \cdot e^{3-x}$, нужно: * Найти производную функции: $$y' = (3-x)' \cdot e^{3-x} + (3-x) \cdot (e^{3-x})'$$ $$y' = (-1) \cdot e^{3-x} + (3-x) \cdot e^{3-x} \cdot (-1)$$ $$y' = -e^{3-x} - (3-x)e^{3-x}$$ $$y' = -e^{3-x} (1 + 3 - x)$$ $$y' = -e^{3-x} (4 - x)$$ * Приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$-e^{3-x} (4 - x) = 0$$ Так как $e^{3-x}$ всегда больше нуля, то $4 - x = 0$, откуда $x = 4$. * Определить знаки производной до и после критической точки. Для этого можно взять значения $x < 4$ (например, $x=3$) и $x > 4$ (например, $x=5$). При $x=3$: $y' = -e^{3-3} (4 - 3) = -e^0 (1) = -1 < 0$. Функция убывает. При $x=5$: $y' = -e^{3-5} (4 - 5) = -e^{-2} (-1) = e^{-2} > 0$. Функция возрастает. * Так как при переходе через $x=4$ производная меняет знак с минуса на плюс, то $x=4$ является точкой минимума. **Ответ:** $x=4$ 2. Чтобы найти точку минимума функции $y=(x^2-10x+10) \cdot e^{x-21}$, нужно: * Найти производную функции: $$y' = (x^2-10x+10)' \cdot e^{x-21} + (x^2-10x+10) \cdot (e^{x-21})'$$ $$y' = (2x-10) \cdot e^{x-21} + (x^2-10x+10) \cdot e^{x-21} \cdot (1)$$ $$y' = e^{x-21} (2x-10 + x^2-10x+10)$$ $$y' = e^{x-21} (x^2-8x)$$ $$y' = x \cdot e^{x-21} (x-8)$$ * Приравнять производную к нулю: $$x \cdot e^{x-21} (x-8) = 0$$ Так как $e^{x-21}$ всегда больше нуля, то $x(x-8)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=8$. * Определить знаки производной на интервалах. Можно использовать точки $x < 0$ (например, $x=-1$), $0 < x < 8$ (например, $x=1$), $x > 8$ (например, $x=9$). При $x=-1$: $y' = (-1) \cdot e^{-1-21} (-1-8) = (-1) \cdot e^{-22} (-9) = 9e^{-22} > 0$. Функция возрастает. При $x=1$: $y' = (1) \cdot e^{1-21} (1-8) = e^{-20} (-7) = -7e^{-20} < 0$. Функция убывает. При $x=9$: $y' = (9) \cdot e^{9-21} (9-8) = 9e^{-12} (1) = 9e^{-12} > 0$. Функция возрастает. * При $x=0$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. При $x=8$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума. **Ответ:** $x=8$ 3. Чтобы найти точку минимума функции $y=10x-\ln((x+3)^5)+7$, нужно: * Упростить функцию, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$: $$y = 10x - 5 \ln(x+3) + 7$$ * Найти производную функции. Учитываем, что аргумент логарифма должен быть больше нуля, то есть $x+3 > 0$, или $x > -3$. $$y' = (10x)' - (5 \ln(x+3))' + (7)'$$ $$y' = 10 - 5 \cdot \frac{1}{x+3} \cdot (x+3)' + 0$$ $$y' = 10 - \frac{5}{x+3}$$ * Приравнять производную к нулю: $$10 - \frac{5}{x+3} = 0$$ $$10 = \frac{5}{x+3}$$ $$10(x+3) = 5$$ $$10x + 30 = 5$$ $$10x = 5 - 30$$ $$10x = -25$$ $$x = -2.5$$ * Проверить, принадлежит ли найденная точка области определения функции. $-2.5 > -3$, так что точка подходит. * Определить знаки производной до и после критической точки $x=-2.5$. Учитываем область определения $x > -3$. Возьмём $x = -2.6$ (например, $x=-2.6$): $y' = 10 - \frac{5}{-2.6+3} = 10 - \frac{5}{0.4} = 10 - 12.5 = -2.5 < 0$. Функция убывает. Возьмём $x = -2$ (например, $x=-2$): $y' = 10 - \frac{5}{-2+3} = 10 - \frac{5}{1} = 10 - 5 = 5 > 0$. Функция возрастает. * Так как при переходе через $x=-2.5$ производная меняет знак с минуса на плюс, то $x=-2.5$ является точкой минимума. **Ответ:** $x=-2.5$