Найдите точку максимума функции $y=(9-x) \cdot e^{x+9}$

1. Чтобы найти точку максимума функции $y=(9-x) \cdot e^{x+9}$, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю: $$y' = (9-x)' \cdot e^{x+9} + (9-x) \cdot (e^{x+9})'$$ $$-1 \cdot e^{x+9} + (9-x) \cdot e^{x+9} \cdot (x+9)' = 0$$ $$-e^{x+9} + (9-x) \cdot e^{x+9} \cdot 1 = 0$$ $$e^{x+9} (-1 + 9-x) = 0$$ $$e^{x+9} (8-x) = 0$$ Так как $e^{x+9}$ всегда больше нуля, то $8-x=0$, откуда $x=8$. \nТеперь определим знаки производной. Если $x < 8$, например $x=7$, то $y' = e^{7+9}(8-7) = e^{16} \cdot 1 > 0$. Если $x > 8$, например $x=9$, то $y' = e^{9+9}(8-9) = e^{18} \cdot (-1) < 0$. \nПроизводная меняет знак с плюса на минус в точке $x=8$, значит, это точка максимума. **Ответ: 8** 2. Чтобы найти точку максимума функции $y=(x+8)^2 \cdot e^{3-x}$, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю: $$y' = ((x+8)^2)' \cdot e^{3-x} + (x+8)^2 \cdot (e^{3-x})' = 0$$ $$2(x+8) \cdot e^{3-x} + (x+8)^2 \cdot e^{3-x} \cdot (-1) = 0$$ $$(x+8)e^{3-x} (2 - (x+8)) = 0$$ $$(x+8)e^{3-x} (2 - x - 8) = 0$$ $$(x+8)e^{3-x} (-x - 6) = 0$$ Так как $e^{3-x}$ всегда больше нуля, то: $$(x+8)(-x-6) = 0$$ Отсюда $x+8=0 \Rightarrow x_1 = -8$ или $-x-6=0 \Rightarrow x_2 = -6$. Рассмотрим знаки производной: - Если $x < -8$, например $x=-9$: $y' = (-9+8)(-(-9)-6)e^{3-(-9)} = (-1)(9-6)e^{12} = (-1)(3)e^{12} < 0$. Функция убывает. - Если $-8 < x < -6$, например $x=-7$: $y' = (-7+8)(-(-7)-6)e^{3-(-7)} = (1)(7-6)e^{10} = (1)(1)e^{10} > 0$. Функция возрастает. - Если $x > -6$, например $x=-5$: $y' = (-5+8)(-(-5)-6)e^{3-(-5)} = (3)(5-6)e^8 = (3)(-1)e^8 < 0$. Функция убывает. Производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x=-8$, это точка минимума. Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x=-6$, это точка максимума. **Ответ: -6** 3. Чтобы найти точку максимума функции $y=\ln(x-5)^3 - 6x - 5$, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю. Для начала область определения: $x-5 > 0$, то есть $x > 5$. $$y' = (\ln(x-5)^3)' - (6x)' - (5)' = 0$$ $$y' = \frac{1}{(x-5)^3} \cdot 3(x-5)^2 \cdot 1 - 6 = 0$$ $$y' = \frac{3}{x-5} - 6 = 0$$ $$\frac{3}{x-5} = 6$$ $$3 = 6(x-5)$$ $$3 = 6x - 30$$ $$33 = 6x$$ $$x = \frac{33}{6} = \frac{11}{2} = 5.5$$ Теперь определим знаки производной в окрестности $x=5.5$. Так как $x > 5$: - Если $5 < x < 5.5$, например $x=5.2$: $y' = \frac{3}{5.2-5} - 6 = \frac{3}{0.2} - 6 = 15 - 6 = 9 > 0$. Функция возрастает. - Если $x > 5.5$, например $x=6$: $y' = \frac{3}{6-5} - 6 = \frac{3}{1} - 6 = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает. Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x=5.5$, значит, это точка максимума. **Ответ: 5.5**