Найдите производную функции: 1) $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$

1) Чтобы найти производную функции $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$, будем использовать правила дифференцирования: * Производная от $x^n$ это $nx^{n-1}$ * Производная от константы равна $0$ * Производная от $cf(x)$ это $cf'(x)$ * Производная от суммы или разности функций равна сумме или разности их производных Применяем эти правила: $$y' = (8x^9)' - (3x^5)' + (6x^3)' - (2)'$$ $$y' = 8 \cdot 9x^{9-1} - 3 \cdot 5x^{5-1} + 6 \cdot 3x^{3-1} - 0$$ $$y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$$ **Ответ:** $y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$ 2) Чтобы найти производную функции $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x$, сначала представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$: $$y = \frac{1}{5}x^{10} + 4x^{\frac{1}{2}} - 3x$$ Теперь найдем производную, используя те же правила, что и в первом задании: $$y' = (\frac{1}{5}x^{10})' + (4x^{\frac{1}{2}})' - (3x)'$$ $$y' = \frac{1}{5} \cdot 10x^{10-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 3 \cdot 1x^{1-1}$$ $$y' = 2x^9 + 2x^{-\frac{1}{2}} - 3$$ Можно записать $x^{-\frac{1}{2}}$ как $\frac{1}{\sqrt{x}}$: $$y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$$ **Ответ:** $y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$ 3) Чтобы найти производную функции $y = x - \frac{2}{x^2}$, сначала представим $\frac{2}{x^2}$ как $2x^{-2}$: $$y = x - 2x^{-2}$$ Теперь найдем производную: $$y' = (x)' - (2x^{-2})'$$ $$y' = 1 - 2 \cdot (-2)x^{-2-1}$$ $$y' = 1 + 4x^{-3}$$ Можно записать $x^{-3}$ как $\frac{1}{x^3}$: $$y' = 1 + \frac{4}{x^3}$$ **Ответ:** $y' = 1 + \frac{4}{x^3}$ 4) Чтобы найти производную функции $y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}$, сначала представим функции в виде $cx^n$: $$y = 5x^{-7} - 2x^{-5}$$ Теперь найдем производную: $$y' = (5x^{-7})' - (2x^{-5})'$$ $$y' = 5 \cdot (-7)x^{-7-1} - 2 \cdot (-5)x^{-5-1}$$ $$y' = -35x^{-8} + 10x^{-6}$$ Можно записать $x^{-8}$ как $\frac{1}{x^8}$ и $x^{-6}$ как $\frac{1}{x^6}$: $$y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$$ **Ответ:** $y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$ 1) Чтобы найти производную функции $y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$, используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x^2 - 5$ и $v = x^3 + 4$. Тогда $u' = (x^2 - 5)' = 2x$ и $v' = (x^3 + 4)' = 3x^2$. Применяем правило: $$y' = (2x)(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2)$$ Раскрываем скобки: $$y' = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2$$ Собираем подобные слагаемые: $$y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$$ **Ответ:** $y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$ 2) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$, сначала раскроем скобки, представив $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$: $$y = x^{\frac{1}{2}}(2x^2 + 4)$$ $$y = 2x^{\frac{1}{2}} \cdot x^2 + 4x^{\frac{1}{2}}$$ $$y = 2x^{\frac{1}{2} + 2} + 4x^{\frac{1}{2}}$$ $$y = 2x^{\frac{5}{2}} + 4x^{\frac{1}{2}}$$ Теперь найдем производную: $$y' = (2x^{\frac{5}{2}})' + (4x^{\frac{1}{2}})'$$ $$y' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$$ $$y' = 5x^{\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}$$ Можно записать $x^{\frac{3}{2}}$ как $x\sqrt{x}$ и $x^{-\frac{1}{2}}$ как $\frac{1}{\sqrt{x}}$: $$y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$$ **Ответ:** $y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ 3) Чтобы найти производную функции $y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$, используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u = \sqrt{x} - 8 = x^{\frac{1}{2}} - 8$ и $v = 9 - 7\sqrt{x} = 9 - 7x^{\frac{1}{2}}$. Тогда $u' = (x^{\frac{1}{2}} - 8)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v' = (9 - 7x^{\frac{1}{2}})' = -7 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{7}{2\sqrt{x}}$. Применяем правило: $$y' = (\frac{1}{2\sqrt{x}})(9 - 7\sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 8)(-\frac{7}{2\sqrt{x}})$$ Раскрываем скобки: $$y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - \frac{7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{8 \cdot 7}{2\sqrt{x}}$$ $$y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - \frac{7}{2} - \frac{7}{2} + \frac{56}{2\sqrt{x}}$$ Объединяем слагаемые: $$y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} + \frac{56}{2\sqrt{x}} - \frac{7}{2} - \frac{7}{2}$$ $$y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - \frac{14}{2}$$ $$y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$$ **Ответ:** $y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$