Найдите производную функции $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$

Найдем производные для каждой функции. ### Часть 1. Производные сумм и разностей функций 1) $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$ Используем правила $(\text{const} \cdot f(x))' = \text{const} \cdot f'(x)$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю. $y' = (8x^9)' - (3x^5)' + (6x^3)' - (2)'$ $y' = 8 \cdot 9x^{9-1} - 3 \cdot 5x^{5-1} + 6 \cdot 3x^{3-1} - 0$ $y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$ **Ответ: $72x^8 - 15x^4 + 18x^2$** 2) $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x$ Перепишем $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$. $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4x^{\frac{1}{2}} - 3x$ $y' = (\frac{1}{5}x^{10})' + (4x^{\frac{1}{2}})' - (3x)'$ $y' = \frac{1}{5} \cdot 10x^{10-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 3 \cdot 1x^{1-1}$ $y' = 2x^9 + 2x^{-\frac{1}{2}} - 3$ $y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$ **Ответ: $2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$** 3) $y = x - \frac{2}{x^2}$ Перепишем $\frac{2}{x^2}$ как $2x^{-2}$. $y = x - 2x^{-2}$ $y' = (x)' - (2x^{-2})'$ $y' = 1 - 2 \cdot (-2)x^{-2-1}$ $y' = 1 + 4x^{-3}$ $y' = 1 + \frac{4}{x^3}$ **Ответ: $1 + \frac{4}{x^3}$** 4) $y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}$ Перепишем выражения как $5x^{-7}$ и $2x^{-5}$. $y = 5x^{-7} - 2x^{-5}$ $y' = (5x^{-7})' - (2x^{-5})'$ $y' = 5 \cdot (-7)x^{-7-1} - 2 \cdot (-5)x^{-5-1}$ $y' = -35x^{-8} + 10x^{-6}$ $y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$ **Ответ: $-\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$** ### Часть 2. Производные произведений функций Для нахождения производной произведения используем формулу $(uv)' = u'v + uv'$. 1) $y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$ Пусть $u = x^2 - 5$ и $v = x^3 + 4$. Тогда $u' = (x^2 - 5)' = 2x$ и $v' = (x^3 + 4)' = 3x^2$. $y' = (2x)(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2)$ $y' = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2$ $y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$ **Ответ: $5x^4 - 15x^2 + 8x$** 2) $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$ Перепишем $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$. $y = x^{\frac{1}{2}}(2x^2 + 4)$ Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ и $v = 2x^2 + 4$. Тогда $u' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ и $v' = (2x^2 + 4)' = 4x$. $y' = (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})(2x^2 + 4) + (x^{\frac{1}{2}})(4x)$ $y' = x^{\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}} + 4x^{\frac{3}{2}}$ $y' = 5x^{\frac{3}{2}} + 2x^{-\frac{1}{2}}$ $y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ **Ответ: $5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$** 3) $y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$ Перепишем $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$. $y = (x^{\frac{1}{2}} - 8)(9 - 7x^{\frac{1}{2}})$ Пусть $u = x^{\frac{1}{2}} - 8$ и $v = 9 - 7x^{\frac{1}{2}}$. Тогда $u' = (x^{\frac{1}{2}} - 8)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ и $v' = (9 - 7x^{\frac{1}{2}})' = -7 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{7}{2}x^{-\frac{1}{2}}$. $y' = (\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})(9 - 7x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} - 8)(-\frac{7}{2}x^{-\frac{1}{2}})$ $y' = \frac{9}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{7}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + (x^{\frac{1}{2}})(-\frac{7}{2}x^{-\frac{1}{2}}) - (8)(-\frac{7}{2}x^{-\frac{1}{2}})$ $y' = \frac{9}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{7}{2} + (-\frac{7}{2}x^{0}) + (28x^{-\frac{1}{2}})$ $y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - \frac{7}{2} - \frac{7}{2} + \frac{28}{\sqrt{x}}$ $y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - 7 + \frac{56}{2\sqrt{x}}$ $y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - 7 + \frac{28}{\sqrt{x}}$ $y' = \frac{9 + 56}{2\sqrt{x}} - 7$ $y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$ **Ответ: $\frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$**