Найти производную функции y=(x^2-5)(x^3+4)

1) Чтобы найти производную функции $y=(x^2-5)(x^3+4)$, воспользуемся правилом производной произведения: $$ (uv)' = u'v + uv' $$ Пусть $u = x^2 - 5$ и $v = x^3 + 4$. Тогда $u' = (x^2 - 5)' = 2x$ и $v' = (x^3 + 4)' = 3x^2$. Подставляем в формулу: $$ y' = (2x)(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2) $$ $$ y' = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2 $$ $$ y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x $$ **Ответ:** $y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$ 2) Чтобы найти производную функции $y=\sqrt{x}(2x^2+4)$, сначала преобразуем $\sqrt{x}$ в $x^{\frac{1}{1}}$. $$ y = x^{\frac{1}{2}}(2x^2+4) $$ Теперь воспользуемся правилом производной произведения: $$ (uv)' = u'v + uv' $$ Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ и $v = 2x^2 + 4$. Тогда $u' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v' = (2x^2 + 4)' = 4x$. Подставляем в формулу: $$ y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(2x^2+4) + (\sqrt{x})(4x) $$ $$ y' = \frac{2x^2+4}{2\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x} $$ Разделим числитель первой дроби на 2: $$ y' = \frac{x^2+2}{\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x} $$ Приведём к общему знаменателю: $$ y' = \frac{x^2+2}{\sqrt{x}} + \frac{4x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{x^2+2 + 4x^2}{\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{5x^2+2}{\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{5x^2+2}{\sqrt{x}}$ 3) Чтобы найти производную функции $y=(\sqrt{x}-8)(9-7\sqrt{x})$, сначала преобразуем $\sqrt{x}$ в $x^{\frac{1}{2}}$. $$ y=(x^{\frac{1}{2}}-8)(9-7x^{\frac{1}{2}}) $$ Теперь воспользуемся правилом производной произведения: $$ (uv)' = u'v + uv' $$ Пусть $u = x^{\frac{1}{2}} - 8$ и $v = 9 - 7x^{\frac{1}{2}}$. Тогда $u' = (x^{\frac{1}{2}} - 8)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v' = (9 - 7x^{\frac{1}{2}})' = -7 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{7}{2\sqrt{x}}$. Подставляем в формулу: $$ y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(9-7\sqrt{x}) + (\sqrt{x}-8)\left(-\frac{7}{2\sqrt{x}}\right) $$ $$ y' = \frac{9-7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{7(\sqrt{x}-8)}{2\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{9-7\sqrt{x} - 7\sqrt{x} + 56}{2\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{65-14\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{65-14\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$