Найдите производную функции: 1) $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$;

1) Найдём производную функции $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$ Используем правила дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(c)' = 0$, $(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$ $$y' = (8x^9)' - (3x^5)' + (6x^3)' - (2)'$$ $$y' = 8 \cdot 9x^{9-1} - 3 \cdot 5x^{5-1} + 6 \cdot 3x^{3-1} - 0$$ $$y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$$ **Ответ:** $y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$ 2) Найдём производную функции $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x$ Перепишем функцию, используя степень для корня: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ $$y = \frac{1}{5}x^{10} + 4x^{1/2} - 3x$$ Применяем правила дифференцирования: $$y' = (\frac{1}{5}x^{10})' + (4x^{1/2})' - (3x)'$$ $$y' = \frac{1}{5} \cdot 10x^{10-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} - 3 \cdot 1$$ $$y' = 2x^9 + 2x^{-1/2} - 3$$ Возвращаем корень: $$y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$$ **Ответ:** $y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$ 3) Найдём производную функции $y = x - \frac{2}{x^2}$ Перепишем функцию, используя отрицательную степень: $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ $$y = x - 2x^{-2}$$ Применяем правила дифференцирования: $$y' = (x)' - (2x^{-2})'$$ $$y' = 1 - 2 \cdot (-2)x^{-2-1}$$ $$y' = 1 + 4x^{-3}$$ Возвращаем дробь: $$y' = 1 + \frac{4}{x^3}$$ **Ответ:** $y' = 1 + \frac{4}{x^3}$ 4) Найдём производную функции $y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}$ Перепишем функцию, используя отрицательные степени: $$y = 5x^{-7} - 2x^{-5}$$ Применяем правила дифференцирования: $$y' = (5x^{-7})' - (2x^{-5})'$$ $$y' = 5 \cdot (-7)x^{-7-1} - 2 \cdot (-5)x^{-5-1}$$ $$y' = -35x^{-8} + 10x^{-6}$$ Возвращаем дроби: $$y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$$ **Ответ:** $y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$ --- 1) Найдём производную функции $y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$ Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$ Пусть $u = x^2 - 5$ и $v = x^3 + 4$ Тогда $u' = (x^2 - 5)' = 2x$ и $v' = (x^3 + 4)' = 3x^2$ $$y' = (2x)(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2)$$ $$y' = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2$$ $$y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$$ **Ответ:** $y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$ 2) Найдём производную функции $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$ Перепишем функцию, используя степень для корня: $y = x^{1/2}(2x^2 + 4)$ Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$ Пусть $u = x^{1/2}$ и $v = 2x^2 + 4$ Тогда $u' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v' = (2x^2 + 4)' = 4x$ $$y' = (\frac{1}{2\sqrt{x}})(2x^2 + 4) + (\sqrt{x})(4x)$$ $$y' = \frac{2x^2}{2\sqrt{x}} + \frac{4}{2\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x}$$ $$y' = x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x}$$ $$y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$$ Также можно раскрыть скобки до дифференцирования: $$y = x^{1/2} \cdot 2x^2 + x^{1/2} \cdot 4$$ $$y = 2x^{1/2+2} + 4x^{1/2}$$ $$y = 2x^{5/2} + 4x^{1/2}$$ Теперь найдём производную: $$y' = (2x^{5/2})' + (4x^{1/2})'$$ $$y' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1}$$ $$y' = 5x^{3/2} + 2x^{-1/2}$$ $$y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$$ **Ответ:** $y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ 3) Найдём производную функции $y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$ Перепишем функцию: $y = (x^{1/2} - 8)(9 - 7x^{1/2})$ Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$ Пусть $u = x^{1/2} - 8$ и $v = 9 - 7x^{1/2}$ Тогда $u' = (x^{1/2} - 8)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ И $v' = (9 - 7x^{1/2})' = -7 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{7}{2\sqrt{x}}$ $$y' = (\frac{1}{2\sqrt{x}})(9 - 7\sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 8)(-\frac{7}{2\sqrt{x}})$$ $$y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - \frac{7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{56}{2\sqrt{x}}$$ $$y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - \frac{7}{2} - \frac{7}{2} + \frac{28}{\sqrt{x}}$$ $$y' = \frac{9}{2\sqrt{x}} - 7 + \frac{56}{2\sqrt{x}}$$ $$y' = \frac{9 + 56}{2\sqrt{x}} - 7$$ $$y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$$ Также можно сначала раскрыть скобки: $$y = 9\sqrt{x} - 7x - 72 + 56\sqrt{x}$$ $$y = 65\sqrt{x} - 7x - 72$$ $$y = 65x^{1/2} - 7x - 72$$ Теперь найдём производную: $$y' = (65x^{1/2})' - (7x)' - (72)'$$ $$y' = 65 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} - 7 \cdot 1 - 0$$ $$y' = \frac{65}{2}x^{-1/2} - 7$$ $$y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$$ **Ответ:** $y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$