Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$, прямой $y = x + 2$ и осью $Ox$

Для решения задачи нужно найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Это делается с помощью определённого интеграла. Нужно найти точки пересечения функций и выбрать подходящие пределы интегрирования. ### Задание 2) Парабола $y = 4 - x^2$, прямая $y = x + 2$ и ось $Ox$. 1. **Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$:** $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ 2. **Найдем точки пересечения прямой с осью $Ox$:** $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ 3. **Найдем точки пересечения параболы и прямой:** $4 - x^2 = x + 2$ $x^2 + x - 2 = 0$ $(x+2)(x-1) = 0$ $x_1 = -2, x_2 = 1$ Учитывая все точки пересечения и то, что фигура ограничена осью $Ox$, область интегрирования будет разбита на два участка: * От $x = -2$ до $x = 1$ — сверху прямая $y = x + 2$. * От $x = 1$ до $x = 2$ — сверху парабола $y = 4 - x^2$. Однако, стоит отметить, что прямая $y=x+2$ выше оси $Ox$ только при $x>-2$. А парабола $y=4-x^2$ выше оси $Ox$ при $-2<x<2$. На отрезке $[-2, 1]$ прямая $y=x+2$ лежит выше оси $Ox$ и парабола $y=4-x^2$ тоже выше оси $Ox$. На отрезке $[1, 2]$ прямая $y=x+2$ выше параболы $y=4-x^2$ только до $x=1$. Фигура ограничена параболой $y=4-x^2$, прямой $y=x+2$ и осью $Ox$. Это значит, что нам нужно найти площадь фигуры, которая находится между этими тремя линиями. Проанализируем графики: * Парабола $y = 4 - x^2$ имеет вершину в $(0, 4)$ и пересекает ось $Ox$ в $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. * Прямая $y = x + 2$ пересекает ось $Ox$ в $(-2, 0)$ и ось $Oy$ в $(0, 2)$. Таким образом, общая область разбивается на два участка: 1. От $x = -2$ до $x = 1$: площадь между прямой $y = x + 2$ и осью $Ox$. 2. От $x = 1$ до $x = 2$: площадь между параболой $y = 4 - x^2$ и осью $Ox$. Площадь $S$ будет суммой двух интегралов: $$S = \int_{-2}^{1} (x+2)\,dx + \int_{1}^{2} (4-x^2)\,dx$$ Вычислим первый интеграл: $$\int_{-2}^{1} (x+2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)\right)$$ $$= \left(\frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{4}{2} - 4\right) = \left(2.5\right) - \left(2 - 4\right) = 2.5 - (-2) = 4.5$$ Вычислим второй интеграл: $$\int_{1}^{2} (4-x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot 1 - \frac{1^3}{3}\right)$$ $$= \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{24-8}{3}\right) - \left(\frac{12-1}{3}\right)$$ $$= \frac{16}{3} - \frac{11}{3} = \frac{5}{3}$$ Сложим полученные площади: $$S = 4.5 + \frac{5}{3} = \frac{9}{2} + \frac{5}{3} = \frac{27}{6} + \frac{10}{6} = \frac{37}{6}$$ **Ответ: $\frac{37}{6}$** :::div .chart-container @chart-1::: ### Задание 3) Парабола $y = 4x - x^2$, прямая $y = 4 - x$ и ось $Ox$. 1. **Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$:** $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4$ 2. **Найдем точки пересечения прямой с осью $Ox$:** $4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$ 3. **Найдем точки пересечения параболы и прямой:** $4x - x^2 = 4 - x$ $x^2 - 5x + 4 = 0$ $(x-1)(x-4) = 0$ $x_1 = 1, x_2 = 4$ Фигура ограничена параболой $y = 4x - x^2$, прямой $y = 4 - x$ и осью $Ox$. Проанализируем графики: * Парабола $y = 4x - x^2$ имеет вершину в $(2, 4)$ и пересекает ось $Ox$ в $(0, 0)$ и $(4, 0)$. * Прямая $y = 4 - x$ пересекает ось $Ox$ в $(4, 0)$ и ось $Oy$ в $(0, 4)$. Учитывая точки пересечения и область, ограниченную осью $Ox$, площадь разбивается на два участка: 1. От $x = 0$ до $x = 1$: площадь между параболой $y = 4x - x^2$ и осью $Ox$. 2. От $x = 1$ до $x = 4$: площадь между параболой $y = 4x - x^2$ и прямой $y = 4 - x$. Площадь $S$ будет суммой двух интегралов: $$S = \int_{0}^{1} (4x - x^2)\,dx + \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (4 - x))\,dx$$ Вычислим первый интеграл: $$\int_{0}^{1} (4x - x^2)\,dx = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \left(2 \cdot 1^2 - \frac{1^3}{3}\right) - (0) = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$ Вычислим второй интеграл: $$\int_{1}^{4} (4x - x^2 - 4 + x)\,dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4)\,dx$$ $$= \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x\right]_{1}^{4}$$ $$= \left(-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1\right)$$ $$= \left(-\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right)$$ $$= \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2.5 - 4\right)$$ $$= \left(-\frac{64}{3} + 24\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1.5\right)$$ $$= \left(-\frac{64}{3} + \frac{72}{3}\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{3}{2}\right)$$ $$= \frac{8}{3} - \left(-\frac{2}{6} - \frac{9}{6}\right) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$$ Сложим полученные площади: $$S = \frac{5}{3} + 4.5 = \frac{5}{3} + \frac{9}{2} = \frac{10}{6} + \frac{27}{6} = \frac{37}{6}$$ **Ответ: $\frac{37}{6}$** :::div .chart-container @chart-2:::