Найдите производную функции $y = (x^2-5)(x^3+4)$

1) Чтобы найти производную функции $y=(x^2-5)(x^3+4)$, воспользуемся правилом производной произведения: $$ (uv)' = u'v + uv' $$ Здесь $u = x^2 - 5$ и $v = x^3 + 4$. Найдем производные $u'$ и $v'$: $$ u' = (x^2 - 5)' = 2x $$ $$ v' = (x^3 + 4)' = 3x^2 $$ Теперь подставим это в формулу: $$ y' = (2x)(x^3+4) + (x^2-5)(3x^2) $$ $$ y' = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2 $$ $$ y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x $$ **Ответ:** $y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$ 2) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt{x}(2x^2+4)$, сначала перепишем $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$: $$ y = x^{\frac{1}{2}}(2x^2+4) $$ Используем правило произведения: $$ (uv)' = u'v + uv' $$ Здесь $u = x^{\frac{1}{2}}$ и $v = 2x^2 + 4$. Найдем производные $u'$ и $v'$: $$ u' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ v' = (2x^2 + 4)' = 4x $$ Теперь подставим это в формулу: $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(2x^2+4) + \sqrt{x}(4x) $$ $$ y' = \frac{2x^2+4}{2\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x} $$ $$ y' = \frac{x^2+2}{\sqrt{x}} + 4x\sqrt{x} $$ Приведем к общему знаменателю: $$ y' = \frac{x^2+2 + 4x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{x^2+2 + 4x^2}{\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{5x^2+2}{\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{5x^2+2}{\sqrt{x}}$ 3) Чтобы найти производную функции $y = (\sqrt{x}-8)(9-7\sqrt{x})$, сначала перепишем $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$: $$ y = (x^{\frac{1}{2}}-8)(9-7x^{\frac{1}{2}}) $$ Используем правило произведения: $$ (uv)' = u'v + uv' $$ Здесь $u = x^{\frac{1}{2}}-8$ и $v = 9-7x^{\frac{1}{2}}$. Найдем производные $u'$ и $v'$: $$ u' = (x^{\frac{1}{2}}-8)' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ v' = (9-7x^{\frac{1}{2}})' = -7 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{7}{2\sqrt{x}} $$ Теперь подставим это в формулу: $$ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}(9-7\sqrt{x}) + (\sqrt{x}-8)(-\frac{7}{2\sqrt{x}}) $$ $$ y' = \frac{9-7\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{7(\sqrt{x}-8)}{2\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{9-7\sqrt{x} - 7\sqrt{x} + 56}{2\sqrt{x}} $$ $$ y' = \frac{65-14\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$ **Ответ:** $y' = \frac{65-14\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$