Даны три точки A(0;1;-1), B(1;-1;2),C(3;1;0). Найдите косинус угла C треугольника ABC.

Ответ: $\cos C = \frac{2}{\sqrt{21}}$ Для нахождения косинуса угла $C$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, исходящими из вершины $C$. 1. Найдём координаты векторов: $\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) = (0 - 3; 1 - 1; -1 - 0) = (-3; 0; -1)$ $\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C) = (1 - 3; -1 - 1; 2 - 0) = (-2; -2; 2)$ 2. Вычислим длины векторов: $|\vec{CA}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$ $|\vec{CB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ 3. Найдём скалярное произведение векторов: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3) \cdot (-2) + 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 6 + 0 - 2 = 4$ 4. Вычислим косинус угла по формуле $\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|}$: $\cos C = \frac{4}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{12}} = \frac{4}{\sqrt{120}} = \frac{4}{2\sqrt{30}} = \frac{2}{\sqrt{30}}$ **Допущение:** В расчёте выше проверим еще раз координаты и произведение. $\vec{CA} = (-3, 0, -1)$ $\vec{CB} = (-2, -2, 2)$ $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 6 + 0 - 2 = 4$ $|\vec{CA}| = \sqrt{10}$ $|\vec{CB}| = \sqrt{12}$ $\cos C = \frac{4}{\sqrt{120}} = \frac{4}{2\sqrt{30}} = \frac{2}{\sqrt{30}}$ Если упростить: $\frac{2}{\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{15}$.