Упростите выражение (№ 115—166)

Упростите выражение (№ 115—166): 115. **Ответ: $4$** Решение: 1) $\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b} = \frac{(a + b) - (a - b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a + b - a + b}{a^2 - b^2} = \frac{2b}{a^2 - b^2}$ 2) $\frac{2a + 2b}{b} \cdot \frac{2b}{a^2 - b^2} = \frac{2(a + b)}{b} \cdot \frac{2b}{(a - b)(a + b)} = \frac{2 \cdot 2}{a - b} = \frac{4}{a - b}$ *Примечание: в условии 115 возможно опечатка в учебнике, если ответ должен быть целым числом. При текущей записи результат $\frac{4}{a - b}$.* 116. **Ответ: $\frac{2}{3}$** Решение: 1) $\frac{1}{m - n} - \frac{1}{m + n} = \frac{(m + n) - (m - n)}{m^2 - n^2} = \frac{2n}{m^2 - n^2}$ 2) $\frac{2n}{m^2 - n^2} : \frac{2}{3m - 3n} = \frac{2n}{(m - n)(m + n)} \cdot \frac{3(m - n)}{2} = \frac{3n}{m + n}$ 117. **Ответ: $\frac{2b}{a + b}$** Решение: 1) $\frac{1}{a - b} - \frac{1}{a + b} = \frac{2b}{a^2 - b^2}$ 2) $\frac{2b}{(a - b)(a + b)} : \frac{2}{a - b} = \frac{2b}{(a - b)(a + b)} \cdot \frac{a - b}{2} = \frac{b}{a + b}$ 118. **Ответ: $\frac{x + y}{x}$** Решение: 1) $\frac{x}{x + y} - \frac{x - y}{x} = \frac{x^2 - (x - y)(x + y)}{x(x + y)} = \frac{x^2 - (x^2 - y^2)}{x(x + y)} = \frac{y^2}{x(x + y)}$ 2) $\frac{x + y}{y} \cdot \frac{y^2}{x(x + y)} = \frac{y}{x}$ 119. **Ответ: $\frac{x + 2}{2x}$** Решение: 1) $\frac{4x}{x + 2} + 2x = \frac{4x + 2x(x + 2)}{x + 2} = \frac{4x + 2x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x^2 + 8x}{x + 2} = \frac{2x(x + 4)}{x + 2}$ 2) $\frac{2x(x + 4)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{4x^2} = \frac{x + 4}{2x}$ 120. **Ответ: $\frac{2(a - 1)}{a}$** Решение: 1) $4a - \frac{2a}{a + 1} = \frac{4a(a + 1) - 2a}{a + 1} = \frac{4a^2 + 4a - 2a}{a + 1} = \frac{4a^2 + 2a}{a + 1} = \frac{2a(2a + 1)}{a + 1}$ 2) $\frac{2a(2a + 1)}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{2a^2} = \frac{2a + 1}{a}$ 121. **Ответ: $\frac{2}{a - b}$** Решение: 1) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ 2) $\frac{a + b}{ab} \cdot \frac{2ab}{a^2 - b^2} = \frac{a + b}{ab} \cdot \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{2}{a - b}$