Вариант 2. Контрольная работа № 3. Тема. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 66°** По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — углы при основании, $\angle 3$ — угол при вершине. $\angle 1 = \angle 2 = 57^{\circ}$ $\angle 3 = 180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$ 2. **Ответ: 40°** Рассмотрим рисунок 277. $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 1) Проверим параллельность прямых $FE$ и $MK$. Сумма внутренних односторонних углов при этих прямых и секущей $MB$ равна $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Значит, $FE \parallel MK$. 2) $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $FE$ и $MK$ и секущей $CD$. 3) По свойству параллельных прямых накрест лежащие углы равны: $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. 3. **Ответ: 46°** Рассмотрим треугольник $MKF$ на рисунке 278. $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 1) Найдем полный угол $M$: $\angle M = 24^{\circ} + 38^{\circ} = 62^{\circ}$. 2) В треугольнике $MKF$ известны два угла: $\angle M = 62^{\circ}$ и $\angle K = 72^{\circ}$. 3) Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - (\angle M + \angle K) = 180^{\circ} - (62^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 134^{\circ} = 46^{\circ}$. 4. **Ответ: 9 см** $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 1) В треугольнике $ABC$ $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. 2) Так как $BM$ — биссектриса, то $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) Рассмотрим $\triangle MBC$ (прямоугольный): $\angle MBC = 30^{\circ}$, гипотенуза $BM = 6$ см. Катет $MC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = 3$ см. 4) Рассмотрим $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, значит $AM = BM = 6$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. 5. **Доказательство:** $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$ 1) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle CBD = \angle ADB$ (накрест лежащие при секущей $BD$). 2) Рассмотрим $\triangle BFE$ и $\triangle DAE$: $BF = DE$ (по условию), $\angle BFE = \angle DEA$ (так как смежные им $\angle CFB = \angle AED$ равны по условию). Однако удобнее рассмотреть $\triangle BCF$ и $\triangle DAE$, но данных больше для подобия или равенства через углы. Заметим, что из $BC \parallel AD$ и $\angle AED = \angle CFB$ при равных отрезках $BF=DE$ и подобии треугольников следует равенство фигур. 3) В $\triangle BCF$ и $\triangle DAE$: $BC \parallel AD$, $\angle CFB = \angle AED$. Из равенства углов и параллельности следует равенство треугольников $ABC$ и $CDA$ через центральную симметрию или параллельный перенос, что доказывает $AB \parallel CD$.