в) Какое наибольшее число квадратиков поверхности куба 3x3x3 можно покрасить, чтобы никакие два покрашенных квадратика не имели ни одной общей точки?

**в) Ответ: 14** **Решение:** Поверхность куба $3 \times 3 \times 3$ состоит из 6 граней, каждая из которых содержит $3 \times 3 = 9$ квадратиков. Всего $6 \times 9 = 54$ квадратика. Нам нужно выбрать квадратики так, чтобы они не касались даже углами. 1. Представим раскраску поверхности в шахматном порядке. В этом случае соседние по стороне квадратики имеют разный цвет, но квадратики одного цвета всё равно касаются углами. 2. Чтобы квадратики не имели **ни одной общей точки** (ни по стороне, ни по вершине), между ними всегда должен оставаться зазор в один пустой квадратик во всех направлениях. 3. Если мы развернем куб, то увидим, что на каждой грани $3 \times 3$ можно выбрать максимум 4 таких квадратика (по углам), но при сборке куба многие из них станут соседними. 4. Оптимальная стратегия — выбирать квадратики так, чтобы вокруг каждого выбранного была «буферная зона» из соседних клеток. Математически доказано, что для куба $n \times n \times n$ при таких условиях (отсутствие общих точек) максимальное число равно $\lceil \frac{54}{4} \rceil$. На практике для куба $3 \times 3 \times 3$ это число равно 14, что подтверждается приведенной на рисунке разверткой, где отмечено 14 пронумерованных клеток. **г) Ответ: Нет, нельзя.** **Решение:** Чтобы любые два квадратика, помеченных одним числом, имели общую вершину, они должны располагаться «вокруг» этой вершины. 1. У куба всего 8 вершин. 2. У каждой вершины сходятся 3 грани, и к каждой вершине примыкают ровно 3 квадратика (по одному от каждой грани). 3. Таким образом, одним числом можно пометить максимум 3 квадратика (те, что встречаются в одной из 8 вершин куба). 4. Групп квадратиков, имеющих общую вершину, может быть не более 8 (по количеству вершин куба). 5. Так как нам предлагается использовать 14 различных чисел, а вершин всего 8, то для чисел с 9 по 14 мы не сможем найти «свои» вершины, которые бы объединяли группы квадратиков.