В остроугольном треугольнике EFG величина угла при вершине G равна α. Высота EL и биссектриса GM пересекаются в точке O. Выберите верное выражение для величины угла EOM.

Ответ: $\delta = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$ Решение: 1. Рассмотрим треугольник $\triangle EHG$ (где $H$ — точка на стороне $FG$, но в нашей задаче это высота $EL$, опущенная на $FG$). В прямоугольном треугольнике $\triangle ELG$ угол $\angle GEL = 90^{\circ} - \alpha$. 2. Так как $GM$ — биссектриса угла $\alpha$, то $\angle OGE = \frac{\alpha}{2}$. 3. В треугольнике $\triangle EOG$ сумма углов равна $180^{\circ}$: $\angle EOG = 180^{\circ} - (\angle OEG + \angle OGE)$ $\angle EOG = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha + \frac{\alpha}{2}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} + \alpha - \frac{\alpha}{2} = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$. 4. Углы $\angle EOG$ и $\angle MOM$ (вертикальные) или смежные не требуются, так как искомый угол $\delta$ на чертеже обозначен как $\angle EOM$. Однако, судя по расположению дуги $\delta$ и стандартным задачам такого типа, под $\delta$ подразумевается внешний угол треугольника или смежный. Пересчитаем для угла $\angle EOM$: Угол $\angle EOM$ является внешним углом для треугольника $\triangle EOG$ при вершине $O$ (если рассматривать продолжение сторон), но здесь $\delta$ — это угол $\angle EOM$. $\angle EOM = 180^{\circ} - \angle EOG = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}) = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$. Допущение: На чертеже дуга $\delta$ отмечает тупой угол $\angle EOM$ между высотой и биссектрисой. В таком случае верным выражением является вариант $\delta = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$, так как при малых $\alpha$ этот угол визуально тупой.