5.137. Докажите, что выражение принимает только положительное значение

5.137. Докажите, что выражение принимает только положительные значения: 1) $a^2 + 2a + 2 = (a^2 + 2a + 1) + 1 = (a + 1)^2 + 1 > 0$, так как квадрат любого числа неотрицателен. 2) $x^2 + y^2 - 2xy + 4 = (x - y)^2 + 4 > 0$, так как $(x - y)^2 \ge 0$. 3) $4m^2 - 4m + 4 = (4m^2 - 4m + 1) + 3 = (2m - 1)^2 + 3 > 0$, так как $(2m - 1)^2 \ge 0$. 4) $a^2 + b^2 + c^2 - 2bc + 3 = a^2 + (b - c)^2 + 3 > 0$, так как суммы квадратов и положительного числа всегда больше нуля. 5.138. Докажите, что выражение $4x - 4x^2 - 2$ может принимать только отрицательные значения. $4x - 4x^2 - 2 = -(4x^2 - 4x + 2) = -( (4x^2 - 4x + 1) + 1 ) = -( (2x - 1)^2 + 1 )$ Так как $(2x - 1)^2 + 1 \ge 1$, то $-( (2x - 1)^2 + 1 ) \le -1$, что всегда меньше нуля. 5.139. Докажите тождество: 1) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4$. Тождество доказано. 2) $(a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a + b)(a - b) = (a^4 + b^4)(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = (a^4 + b^4)(a^4 - b^4) = a^8 - b^8$. Тождество доказано. 5.140. Разложите на множители: 1) $25x^2 - (x + y)^2 = (5x - (x + y))(5x + (x + y)) = (4x - y)(6x + y)$ 2) $100 - (3a + 7y)^2 = (10 - (3a + 7y))(10 + (3a + 7y)) = (10 - 3a - 7y)(10 + 3a + 7y)$ 3) $1 - (a^2 + b^2)^2 = (1 - (a^2 + b^2))(1 + (a^2 + b^2)) = (1 - a^2 - b^2)(1 + a^2 + b^2)$ 4) $m^6n^2 - (m - n)^2 = (m^3n - (m - n))(m^3n + (m - n)) = (m^3n - m + n)(m^3n + m - n)$ 5) $x^4y^2 - (a^2 - b^2)^2 = (x^2y - (a^2 - b^2))(x^2y + (a^2 - b^2)) = (x^2y - a^2 + b^2)(x^2y + a^2 - b^2)$ 6) $9x^2y^4 - (a - b)^2 = (3xy^2 - (a - b))(3xy^2 + (a - b)) = (3xy^2 - a + b)(3xy^2 + a - b)$ 5.141. Представьте выражение в виде произведения: 1) $(a + 2b)^2 - (3c + 4d)^2 = (a + 2b - 3c - 4d)(a + 2b + 3c + 4d)$ 2) $(x - y)^2 - (m + n)^2 = (x - y - m - n)(x - y + m + n)$ 3) $(m - 2n)^2 - (2p - 3q)^2 = (m - 2n - 2p + 3q)(m - 2n + 2p - 3q)$ 4) $(2a - 3c)^2 - (4b + 5d)^2 = (2a - 3c - 4b - 5d)(2a - 3c + 4b + 5d)$ 5) $9(m + n)^2 - (m - n)^2 = (3(m + n) - (m - n))(3(m + n) + (m - n)) = (3m + 3n - m + n)(3m + 3n + m - n) = (2m + 4n)(4m + 2n) = 4(m + 2n)(2m + n)$ 6) $4(a - b)^2 - (a + b)^2 = (2(a - b) - (a + b))(2(a - b) + (a + b)) = (2a - 2b - a - b)(2a - 2b + a + b) = (a - 3b)(3a - b)$ 7) $16(a + b)^2 - 9(x + y)^2 = (4(a + b) - 3(x + y))(4(a + b) + 3(x + y)) = (4a + 4b - 3x - 3y)(4a + 4b + 3x + 3y)$ 8) $9(a - b)^2 - 4(x - y)^2 = (3(a - b) - 2(x - y))(3(a - b) + 2(x - y)) = (3a - 3b - 2x + 2y)(3a - 3b + 2x - 2y)$ 5.142. Разложите на множители: 1) $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$ 2) $a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ 3) $a^8 - b^8 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ 4) $a^4 + a^3 + a + 1 = a^3(a + 1) + (a + 1) = (a + 1)(a^3 + 1) = (a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) = (a + 1)^2(a^2 - a + 1)$ 5) $(a + b)^3 - (a - b)^3 = ((a + b) - (a - b))((a + b)^2 + (a + b)(a - b) + (a - b)^2) = (2b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2) = 2b(3a^2 + b^2)$ 6) $(a + b)^4 - (a - b)^4 = ((a + b)^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 + (a - b)^2) = ( (a + b - (a - b))(a + b + a - b) )(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2) = (2b \cdot 2a)(2a^2 + 2b^2) = 8ab(a^2 + b^2)$ 5.143. Представьте выражение в виде произведения: 1) $ax^2 + bx^2 + ax - cx^2 + bx - cx = x^2(a + b - c) + x(a + b - c) = (a + b - c)(x^2 + x) = x(a + b - c)(x + 1)$ 2) $ax^2 + bx^2 - bx - ax + cx^2 - cx = x^2(a + b + c) - x(b + a + c) = (a + b + c)(x^2 - x) = x(a + b + c)(x - 1)$