Раскройте скобки и приведите подобные члены: а) (x² - x + 2)(x² + 2x + 3). Докажите тождества. Докажите, что значение выражения (13n - 1) + (2n + 11) делится на 5.

### Задание 5. Раскройте скобки и приведите подобные члены: а) $(x^2 - x + 2)(x^2 + 2x + 3) = x^2(x^2 + 2x + 3) - x(x^2 + 2x + 3) + 2(x^2 + 2x + 3) =$ $= x^4 + 2x^3 + 3x^2 - x^3 - 2x^2 - 3x + 2x^2 + 4x + 6 = x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 6$ б) $(a^2 + 2ab - b^2)(2a^2 - 2ab + 3b^2) = a^2(2a^2 - 2ab + 3b^2) + 2ab(2a^2 - 2ab + 3b^2) - b^2(2a^2 - 2ab + 3b^2) =$ $= 2a^4 - 2a^3b + 3a^2b^2 + 4a^3b - 4a^2b^2 + 6ab^3 - 2a^2b^2 + 2ab^3 - 3b^4 = 2a^4 + 2a^3b - 3a^2b^2 + 8ab^3 - 3b^4$ в) $(2 + x - 3x^2 + x^3)(2 - x + 3x^2 + x^3) = ((2 + x^3) - (x - 3x^2))((2 + x^3) + (x - 3x^2)) =$ $= (2 + x^3)^2 - (x - 3x^2)^2 = 4 + 4x^3 + x^6 - (x^2 - 6x^3 + 9x^4) = x^6 - 9x^4 + 10x^3 - x^2 + 4$ г) $(\frac{x^3}{4} - \frac{x^2}{3} + \frac{x}{2})(\frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{3} - \frac{x}{2}) = (\frac{x^3}{4} - (\frac{x^2}{3} - \frac{x}{2}))(\frac{x^3}{4} + (\frac{x^2}{3} - \frac{x}{2})) =$ $= (\frac{x^3}{4})^2 - (\frac{x^2}{3} - \frac{x}{2})^2 = \frac{x^6}{16} - (\frac{x^4}{9} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4}) = \frac{x^6}{16} - \frac{x^4}{9} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{4}$ ### Задание 6. Докажите тождество: а) $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ Доказательство: $(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab$. $4ab = 4ab$, тождество доказано. б) $(x - y)^2 - (x - y)(y + x) = 2y(y - x)$ Доказательство: $(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 - y^2) = x^2 - 2xy + y^2 - x^2 + y^2 = 2y^2 - 2xy = 2y(y - x)$. $2y(y - x) = 2y(y - x)$, тождество доказано. в) $(1 - c)(1 - c^2) + c(c + 1) = c^3 + 1$ Доказательство: $1 - c^2 - c + c^3 + c^2 + c = c^3 + 1$. $c^3 + 1 = c^3 + 1$, тождество доказано. г) $(xy - 1)^2 + (x + y)^2 = (x^2 + 1)(y^2 + 1)$ Доказательство: $(x^2y^2 - 2xy + 1) + (x^2 + 2xy + y^2) = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1$. Разложим правую часть: $(x^2 + 1)(y^2 + 1) = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1$. Части равны, тождество доказано. ### Задание 7. Докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $(13n - 1) + (2n + 11)$ делится на 5. Доказательство: 1. Раскроем скобки и упростим выражение: $13n - 1 + 2n + 11 = 15n + 10$. 2. Вынесем общий множитель 5 за скобки: $15n + 10 = 5(3n + 2)$. 3. Так как один из множителей равен 5, все произведение делится на 5 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.