Найдите площадь правильного 6-угольника, если его периметр P=36, а радиус вписанной окружности r=3√3.

ЗАДАНИЕ №1 Ответ: $54\sqrt{3}$ Решение: Площадь правильного многоугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$, где $P$ — периметр, $r$ — радиус вписанной окружности. $S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3\sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ ЗАДАНИЕ №2 Ответ: $12 + 6\sqrt{3}$ Решение: 1. Найдём периметр 12-угольника: $P = n \cdot a_{12} = 12 \cdot 2 = 24$. 2. Вычислим площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot (2 + \sqrt{3}) = 12 \cdot (2 + \sqrt{3}) = 24 + 12\sqrt{3}$ ЗАДАНИЕ №3 Ответ: $18\sqrt{3}$ Решение: Для правильного шестиугольника сторона $a$ равна радиусу описанной окружности $R$. Значит, $a = R = 2\sqrt{3}$. Площадь правильного шестиугольника: $S = \frac{3\sqrt{3} \cdot a^2}{2}$. $S = \frac{3\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 4 \cdot 3}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ ЗАДАНИЕ №4 Ответ: $24\sqrt{3}$ Решение: Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник связан со стороной $a$ формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 1. Найдём сторону $a$: $6 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a\sqrt{3} = 12 \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. 2. Найдём периметр: $P = 6 \cdot a = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$. 3. Вычислим площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}$