Вариант 4. 1. Решите неравенство: а) 5x²+3x-8>0; б) x²-49<0; в) 4x²-2x+13<0. 2. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (x+12)(x-7)<0...

### 1. Решите неравенство: а) $5x^2+3x-8>0$ Найдем корни уравнения $5x^2+3x-8=0$: $D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2$ $x_1 = \frac{-3+13}{10} = 1$; $x_2 = \frac{-3-13}{10} = -1,6$ Ветви параболы направлены вверх. Неравенство верно при $x < -1,6$ или $x > 1$. Ответ: $x \in (-\infty; -1,6) \cup (1; +\infty)$ б) $x^2-49<0$ $(x-7)(x+7)<0$ Корни: $x=7, x=-7$. Парабола ветвями вверх, отрицательные значения между корнями. Ответ: $x \in (-7; 7)$ в) $4x^2-2x+13<0$ Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 13 = 4 - 208 = -204$ $D < 0$, ветви направлены вверх ($4>0$), значит парабола всегда выше оси $Ox$. Ответ: решений нет ### 2. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) $(x+12)(x-7)<0$ Нули функции: $x = -12, x = 7$. Расставим знаки на интервалах: $+ \, (-12) \, - \, (7) \, +$ Ответ: $x \in (-12; 7)$ б) $\frac{x+5}{x-10}>0$ Нули: $x = -5, x = 10$ ($x \neq 10$). Знаки: $+ \, (-5) \, - \, (10) \, +$ Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (10; +\infty)$ ### 3. Решите уравнение: а) $x^3-49x=0$ $x(x^2-49)=0$ $x(x-7)(x+7)=0$ Ответ: $x_1=0, x_2=7, x_3=-7$ б) $\frac{x^2+3}{4}-\frac{17-3x}{8}=2$ Умножим всё на 8: $2(x^2+3) - (17-3x) = 16$ $2x^2 + 6 - 17 + 3x = 16$ $2x^2 + 3x - 27 = 0$ $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$ $x_1 = \frac{-3+15}{4} = 3$; $x_2 = \frac{-3-15}{4} = -4,5$ Ответ: $3; -4,5$ ### 4. Решите биквадратное уравнение $x^4-17x^2+16=0$: Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. $t^2 - 17t + 16 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 16, t_2 = 1$ 1) $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ 2) $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ Ответ: $\pm 4; \pm 1$ ### 5. При каких значениях $t$ уравнение $25x^2+tx+1=0$ не имеет корней? Квадратное уравнение не имеет корней, если $D < 0$. $D = t^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = t^2 - 100$ $t^2 - 100 < 0 \Rightarrow (t-10)(t+10) < 0$ Ответ: $t \in (-10; 10)$ ### 6. Найдите область определения функции $y=\sqrt{5x-2x^2}$: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x-2x^2 \ge 0$ $x(5-2x) \ge 0$ Корни: $x=0, x=2,5$. Парабола ветвями вниз, положительные значения между корнями. Ответ: $x \in [0; 2,5]$