Решите задачи на арифметическую прогрессию: определение прогрессии, нахождение разности и членов последовательности.

713. Среди данных последовательностей укажите арифметические прогрессии: **Ответ: 4), 6)** Решение: Последовательность является арифметической, если разность между любым её членом (начиная со второго) и предыдущим постоянна ($d = a_{n} - a_{n-1}$). 1) $-6 - 3 = -9$; $-12 - (-6) = -6$ (не прогрессия) 2) $8 - 4 = 4$; $12 - 8 = 4$; $16 - 12 = 4$ (прогрессия: $d=4$) 3) $10 - 5 = 5$; $5 - 10 = -5$ (не прогрессия) 4) $39 - 42 = -3$; $36 - 39 = -3$; $33 - 36 = -3$ (прогрессия: $d=-3$) 5) $-3 - (-5) = 2$; $-1 - (-3) = 2$; $1 - (-1) = 2$ (прогрессия: $d=2$) 6) $1,3 - 1,2 = 0,1$; $1,5 - 1,3 = 0,2$ (не прогрессия) 714. Является ли арифметической прогрессией последовательность (в случае утвердительного ответа укажите разность прогрессии): 1) **Да, $d = -2$** ($22-24=-2; 20-22=-2; 18-20=-2$) 2) **Нет** ($17-16=1; 19-17=2$) 3) **Да, $d = 5$** ($2-(-3)=5; 7-2=5; 12-7=5$) 715. Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии, первый член которой равен 1,2, а разность равна $-0,3$. **Ответ: 1,2; 0,9; 0,6; 0,3** Решение: $a_1 = 1,2$ $a_2 = 1,2 + (-0,3) = 0,9$ $a_3 = 0,9 + (-0,3) = 0,6$ $a_4 = 0,6 + (-0,3) = 0,3$ 716. Первый член арифметической прогрессии равен $-7,4$, а разность равна 1,8. Найдите пять первых членов прогрессии. **Ответ: -7,4; -5,6; -3,8; -2; -0,2** Решение: $a_1 = -7,4$ $a_2 = -7,4 + 1,8 = -5,6$ $a_3 = -5,6 + 1,8 = -3,8$ $a_4 = -3,8 + 1,8 = -2$ $a_5 = -2 + 1,8 = -0,2$ 717. Первый член арифметической прогрессии $(a_n)$ равен 4, а разность равна 0,4. Найдите: 1) $a_3$; 2) $a_{11}$; 3) $a_{32}$. **Ответ: 1) 4,8; 2) 8; 3) 16,4** Решение по формуле $a_n = a_1 + d(n-1)$: 1) $a_3 = 4 + 0,4 \cdot (3-1) = 4 + 0,8 = 4,8$ 2) $a_{11} = 4 + 0,4 \cdot (11-1) = 4 + 4 = 8$ 3) $a_{32} = 4 + 0,4 \cdot (32-1) = 4 + 12,4 = 16,4$ 718. Первый член арифметической прогрессии $(a_n)$ равен 17, а разность равна $-2$. Найдите: 1) $a_4$; 2) $a_{15}$; 3) $a_{60}$. **Ответ: 1) 11; 2) -11; 3) -101** Решение: 1) $a_4 = 17 + (-2) \cdot 3 = 17 - 6 = 11$ 2) $a_{15} = 17 + (-2) \cdot 14 = 17 - 28 = -11$ 3) $a_{60} = 17 + (-2) \cdot 59 = 17 - 118 = -101$ 719. Найдите разность и двести первый член арифметической прогрессии 2,6; 2,9; 3,2; ... . **Ответ: $d = 0,3$; $a_{201} = 62,6$** Решение: $d = 2,9 - 2,6 = 0,3$ $a_{201} = 2,6 + 0,3 \cdot (201 - 1) = 2,6 + 0,3 \cdot 200 = 2,6 + 60 = 62,6$ 720. Чему равна разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 = -2$, $a_7 = 6$? **Ответ: 8** Решение: $d = a_7 - a_6 = 6 - (-2) = 8$ 721. Найдите разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_8 = 10$, $a_9 = -12$. **Ответ: -22** Решение: $d = a_9 - a_8 = -12 - 10 = -22$ 722. Найдите разность арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_1 = 2$, $x_8 = -47$. **Ответ: -7** Решение: Используем формулу $x_n = x_1 + d(n-1)$: $-47 = 2 + d(8-1)$ $-47 - 2 = 7d$ $-49 = 7d$ $d = -7$