В треугольнике ABC известно, что AC=16, BC=12, угол C равен 90 градусов. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

15. **Ответ: 10** 1. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$. 2. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы: $R = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$. 16. **Ответ: 109** В любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$. 17. **Ответ: 78** 1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной. Он равнобедренный, так как боковые стороны равны (половины диагоналей). 2. Углы при основании этого треугольника равны $51^\circ$. Угол между диагоналями (вершина треугольника) равен: $180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$. 3. Так как $78^\circ < 90^\circ$, это и есть искомый острый угол.