Вариант 4. 1. Если a, b — катеты, c — гипотенуза, то справедлива формула... 2. Если на рисунке 1 катет BC = 24 см, гипотенуза AB = 25 см, то катет AC равен... 3. Прямоугольным является треугольник со сторонами... 4. В треугольнике ABC (рис. 2) ∠C = 90°, AC = √20 см, AB - BC = 2 см. Найдите гипотенузу AB. 5. По данным на рисунке 3 найдите площадь треугольника ABC.

1. **Ответ: г)** $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Чтобы найти катет $a$, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета: $a^2 = c^2 - b^2$, следовательно, $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. 2. **Ответ: в) 7 см.** Решение: По теореме Пифагора для $\triangle ABC$ (где $\angle C = 90^\circ$): $AC^2 = AB^2 - BC^2$ $AC^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$ $AC = \sqrt{49} = 7$ (см). 3. **Ответ: а) 1, 2, $\sqrt{5}$.** Решение: Треугольник является прямоугольным, если выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$: а) $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$; $(\sqrt{5})^2 = 5$. Равенство $5 = 5$ верно. б) $8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208 \neq 15^2 (225)$. в) $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \neq 9^2 (81)$. г) $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \neq 5^2 (25)$. 4. **Ответ: 6 см.** Решение: Пусть $BC = x$ см, тогда $AB = (x + 2)$ см. По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $(\sqrt{20})^2 + x^2 = (x + 2)^2$ $20 + x^2 = x^2 + 4x + 4$ $4x = 16$ $x = 4$ (см) — это катет $BC$. Гипотенуза $AB = x + 2 = 4 + 2 = 6$ (см). 5. **Ответ: $8\sqrt{3}$.** Решение: 1) В $\triangle ABM$ ($\angle M = 90^\circ$): $\text{tg} A = \frac{BM}{AM}$. $BM = AM \cdot \text{tg} 60^\circ = 4 \cdot \sqrt{3}$. 2) В $\triangle ABC$ основание $AC = AM + MC = 4 + 4 = 8$. 3) Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$. **Допущение:** На рис. 3 треугольник не является равнобедренным по умолчанию, но $AM=MC=4$, значит $BM$ — медиана и высота, следовательно, $AC = 8$.