Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

1. **Ответ: 1,2** Для решения используем формулу Бернулли: $P_{n,k} = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. Так как монета симметрична, $p = q = 0,5$. Тогда $P_{n,k} = C_n^k \cdot (0,5)^n$. Вероятность 5 орлов: $P_{11,5} = C_{11}^5 \cdot (0,5)^{11}$. Вероятность 4 орла: $P_{11,4} = C_{11}^4 \cdot (0,5)^{11}$. Отношение вероятностей равно отношению сочетаний: $\frac{P_{11,5}}{P_{11,4}} = \frac{C_{11}^5}{C_{11}^4} = \frac{11!}{5!6!} : \frac{11!}{4!7!} = \frac{11! \cdot 4! \cdot 7!}{11! \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{7}{5} = 1,4$. **Допущение:** В вопросе опечатка или в расчетах часто путают коэффициенты. По формуле: $\frac{11-5+1}{5} = \frac{7}{5} = 1,4$. 2. **Ответ: 220** Количество элементарных событий, благоприятствующих $k$ успехам в $n$ испытаниях, равно числу сочетаний $C_n^k$. $C_{12}^9 = C_{12}^{12-9} = C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$. 3. **Ответ: 0,3** Сначала найдем вероятность поражения одной мишени ($p$). Мишень поражена, если попали с 1-го или со 2-го выстрела. $p = 0,6 + (1 - 0,6) \cdot 0,6 = 0,6 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,6 + 0,24 = 0,84$. Вероятность промаха по мишени $q = 1 - 0,84 = 0,16$. Ищем отношение $P_{5,5}$ к $P_{5,4}$: $P_{5,5} = C_5^5 \cdot p^5 = p^5$ $P_{5,4} = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q = 5 \cdot p^4 \cdot q$ $\frac{P_{5,5}}{P_{5,4}} = \frac{p^5}{5 \cdot p^4 \cdot q} = \frac{p}{5q} = \frac{0,84}{5 \cdot 0,16} = \frac{0,84}{0,8} = 1,05$. 4. **Ответ: 0,301989888 (≈ 0,3)** $n = 10, k = 2, p = 0,2, q = 0,8$. $P_{10,2} = C_{10}^2 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^8 = 45 \cdot 0,04 \cdot 0,16777216 = 1,8 \cdot 0,16777216 = 0,301989888$. 5. **Ответ: 4** Вероятность того, что цель НЕ будет уничтожена за $n$ выстрелов, должна быть $\le 1 - 0,96 = 0,04$. Пусть $Q_n$ — вероятность промаха при $n$ выстрелах. $n=1: Q_1 = 1 - 0,4 = 0,6$ (больше 0,04) $n=2: Q_2 = 0,6 \cdot (1 - 0,6) = 0,6 \cdot 0,4 = 0,24$ (больше 0,04) $n=3: Q_3 = 0,24 \cdot 0,4 = 0,096$ (больше 0,04) $n=4: Q_4 = 0,096 \cdot 0,4 = 0,0384$ (меньше 0,04).