Контрольная работа по теме: «Числовые функции». Вариант 1. 1. Найдите область определения функции. 2. Исследуйте на монотонность функцию. 3. Исследуйте функцию на чётность. 4. Постройте и прочитайте график функции.

1. Найдите область определения функции: а) $y = x^3 - 3x^2 + 2$ Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ Решение: Функция является многочленом, она определена при любых значениях $x$. б) $y = \frac{5}{x - 4}$ Ответ: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$ Решение: Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. в) $y = \sqrt{x^2 - 6x - 7}$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [7; +\infty)$ Решение: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 6x - 7 \geq 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 7, x_2 = -1$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty; -1] \cup [7; +\infty)$. г) $y = \sqrt{\frac{3x - 2}{x + 2}}$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup [\frac{2}{3}; +\infty)$ Решение: Подкоренное выражение $\frac{3x - 2}{x + 2} \geq 0$ и знаменатель $x + 2 \neq 0$. Точки: $x = \frac{2}{3}$ (закрашенная) и $x = -2$ (выколотая). Методом интервалов: при $x > \frac{2}{3}$ («+»), при $-2 < x < \frac{2}{3}$ («-»), при $x < -2$ («+»). 2. Исследуйте на монотонность функцию $y = -3x^2 + 2x - 7$: Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; \frac{1}{3}]$ и убывает на $[\frac{1}{3}; +\infty)$. Решение: График — парабола, ветви вниз ($a = -3 < 0$). Вершина $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. До вершины функция возрастает, после — убывает. 3. Исследуйте функцию на чётность: а) $y = 3x^4 - 4x^2 + 1$ Ответ: Чётная. Решение: $f(-x) = 3(-x)^4 - 4(-x)^2 + 1 = 3x^4 - 4x^2 + 1 = f(x)$. б) $y = \frac{x^4 - 1}{x}$ Ответ: Нечётная. Решение: $f(-x) = \frac{(-x)^4 - 1}{-x} = \frac{x^4 - 1}{-x} = -\frac{x^4 - 1}{x} = -f(x)$. 4. Постройте и прочитайте график функции $y = \begin{cases} -(x + 4)^2, \text{ если } -5 \leq x \leq -2 \\ 2x, \text{ если } -2 < x < 2 \\ (x - 4)^2, \text{ если } 2 \leq x \leq 5 \end{cases}$ :::div .chart-container @chart-1::: Свойства: 1. $D(y) = [-5; 5]$. 2. $E(y) = [-4; 4]$. 3. Нули функции: $x = -4, x = 0, x = 4$. 4. Функция возрастает на $[-5; -4]$, $[-2; 2]$ и $[4; 5]$. 5. Функция убывает на $[-4; -2]$ и $[2; 4]$. 6. Функция нечётная (график симметричен относительно начала координат).