Решите задачи 27, 28, 29, 30 на доказательство равенства треугольников и их свойств.

**27. Доказательство:** 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle CMK$ (так как $MN \perp AB$ и $MK \perp BC$): - $AM = MC$ (по условию); - $AN = CK$ (по условию). Следовательно, $\triangle AMN = \triangle CMK$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что $\angle A = \angle C$. 2. Так как $\angle A = \angle C$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, значит $AB = BC$. 3. По условию $AN = CK$. Вычтем эти равные отрезки из равных сторон $AB$ и $BC$: $AB - AN = BC - CK$ $BN = BK$. Что и требовалось доказать. **28. Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ADC$ и $\triangle CBA$: - $AD = CB$ (по условию); - $AC$ — общая сторона; - $\angle CAD = \angle DBC = 90^{\circ}$ (по условию). Следовательно, $\triangle ADC = \triangle CBA$ по гипотенузе и катету. 2. Из равенства треугольников следует, что $\angle ACD = \angle CAB$. 3. Рассмотрим $\triangle AOB$. Так как $\angle OAB = \angle OBA$ (как углы при основании в $\triangle ADC$ и $\triangle CBA$), то $\triangle AOB$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать. **29. Доказательство:** 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$: - $AC$ — общая гипотенуза; - $BC = DC$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по гипотенузе и катету. 2. Из равенства треугольников следует, что $AB = AD$, значит $\triangle ABD$ — равнобедренный. 3. Также из равенства следует, что $\angle BAC = \angle DAC$, значит $AC$ — биссектриса угла $A$ в равнобедренном $\triangle ABD$. 4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является высотой. Следовательно, $AC \perp BD$. Что и требовалось доказать. **30. Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ANO$ и $\triangle CKO$: - $AO = CO$ (по условию); - $\angle ANO = \angle CKO = 90^{\circ}$ (по условию); - $\angle AON = \angle COK$ (как вертикальные). Следовательно, $\triangle ANO = \triangle CKO$ по гипотенузе и острому углу. 2. Из равенства треугольников следует, что $\angle OAN = \angle OCK$ и $AN = CK$. 3. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $\angle BAC = \angle BCA$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный, следовательно $AB = CB$. Что и требовалось доказать.