Решите задачи по геометрии: №20 (найти угол ABF), №21 (доказать, что треугольник KPC равнобедренный), №15 (доказать параллельность прямых AB и CD).

**Задача 20** **Ответ:** $\angle ABF = 37^{\circ}$ 1. Найдём смежный угол $\angle ACB$. Так как развёрнутый угол составляет $180^{\circ}$: $\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BCD - \angle PCF = 180^{\circ} - 115^{\circ} - 28^{\circ} = 37^{\circ}$. 2. Рассмотрим прямые $AB$ и $PD$ при секущей $AC$. По условию $AB \parallel PD$, следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BAC = \angle PCF = 28^{\circ}$. 3. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$: $\angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 37^{\circ}) = 115^{\circ}$. 4. По чертежу видно, что $\triangle BFC$ — равнобедренный ($BF=FC$), значит углы при основании равны: $\angle FBC = \angle FCB = 37^{\circ}$. 5. Вычислим искомый угол: $\angle ABF = \angle ABC - \angle FBC = 115^{\circ} - 37^{\circ} = 78^{\circ}$. **Допущение:** Исходя из визуальных отметок равенства сторон в $\triangle BFC$, $\angle ABF = 115^{\circ} - 37^{\circ} = 78^{\circ}$. **Задача 21** **Доказательство:** 1. Так как $CK$ — биссектриса $\angle ACB$, то $\angle ACK = \angle KCP$. 2. По условию $AC \parallel KP$. При секущей $CK$ накрест лежащие углы равны: $\angle ACK = \angle CKP$. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $\angle KCP = \angle CKP$. 4. В треугольнике $KPC$ два угла равны, значит он является равнобедренным с основанием $KC$, что и требовалось доказать. **Задача 15** **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$. В них: - $AO = OD$ (как радиусы окружности); - $BO = OC$ (как радиусы окружности); - $\angle AOB = \angle DOC$ (как вертикальные углы). 2. Следовательно, $\triangle AOB = \triangle DOC$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 3. В равных треугольниках соответственные углы равны: $\angle BAO = \angle CDO$. 4. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$. Так как накрест лежащие углы равны, то $AB \parallel CD$, что и требовалось доказать.