Вариант 3. Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке А. Найдите угол NAM, если угол N=84, а угол M=42.

1. **Ответ: 117°** Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. В $\triangle MNP$: $\angle N + \angle M + \angle P = 180^{\circ}$ $84^{\circ} + 42^{\circ} + \angle P = 180^{\circ} \Rightarrow \angle P = 54^{\circ}$. Биссектрисы углов $N$ и $M$ пересекаются в точке $A$. Рассмотрим $\triangle NAM$: $\angle ANM = \frac{1}{2} \angle N = 42^{\circ}$ $\angle AMN = \frac{1}{2} \angle M = 21^{\circ}$ $\angle NAM = 180^{\circ} - (42^{\circ} + 21^{\circ}) = 117^{\circ}$. 2. **Ответ: 70°** Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$. Пусть меньший угол $x$, тогда больший $x + 40^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 180^{\circ}$ $2x = 140^{\circ}$ $x = 70^{\circ}$. 3. **Ответ: 12** Периметр $P = 2a + b$, где $a = 5$ — боковая сторона, $b$ — основание. $16 = 2 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 6$. Высота $h$ к основанию делит его пополам (3 и 3) и находится по теореме Пифагора: $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$. 4. **Ответ: 3** Длина средней линии равна половине стороны, которой она параллельна. Сторона $AC$ (по клеткам) равна 6. Средняя линия $= \frac{6}{2} = 3$. 5. **Ответ: 1, 3** 1) Неверно (только биссектриса, проведенная к основанию, является медианой). 2) Верно (свойство прямоугольника). 3) Неверно (только у равнобедренной трапеции). 6. **Ответ: 10°** В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 80^{\circ}$. Биссектриса $BD$ делит $\angle B$ пополам: $\angle ABD = \angle DBC = 40^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle ABH$ (где $BH$ — высота): $\angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. Угол между высотой и биссектрисой: $\angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ}$.