Дано: ∠1 : ∠2 = 3 : 1. Найти: ∠1, ∠2, ∠3. Найти: x, если ∠ABE = ∠CBE.

**Задание №1** Ответ: $\angle 1 = 135^{\circ}$, $\angle 2 = 45^{\circ}$, $\angle 3 = 135^{\circ}$. Решение: 1. Прямые $a$ и $b$ параллельны, так как сумма односторонних углов при секущей $c$ равна $180^{\circ}$ ($80^{\circ} + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ — свойство параллельных прямых по признаку внутренних односторонних углов, где угол $80^{\circ}$ и смежный с углом $100^{\circ}$ являются накрест лежащими или соответственными). 2. Так как $a \parallel b$, то $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние односторонние при секущей $d$, их сумма равна $180^{\circ}$. 3. Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $\angle 1 = 3k$, $\angle 2 = k$. $3k + k = 180^{\circ}$ $4k = 180^{\circ}$ $k = 45^{\circ}$ Значит, $\angle 2 = 45^{\circ}$, $\angle 1 = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}$. 4. $\angle 3$ и $\angle 2$ — смежные, поэтому $\angle 3 = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$. **Задание №2** Ответ: $x = 32^{\circ}$. Решение: 1. Рассмотрим углы при секущей $CD$. Внешний угол при вершине $C$ равен $51^{\circ}$, а внутренний угол $D$ равен $129^{\circ}$. Их сумма $51^{\circ} + 129^{\circ} = 180^{\circ}$ (соответственные углы были бы равны, а здесь сумма внешнего и внутреннего одностороннего дает понять, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны). 2. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle CBE = \angle BEA = 52^{\circ}$ (накрест лежащие углы). 3. По условию $BE$ — биссектриса $\angle ABC$, значит $\angle ABE = \angle CBE = 52^{\circ}$. 4. В треугольнике $\triangle ABE$ сумма углов равна $180^{\circ}$: $x + \angle ABE + \angle BEA = 180^{\circ}$ $x + 52^{\circ} + 52^{\circ} = 180^{\circ}$ $x = 180^{\circ} - 104^{\circ}$ $x = 76^{\circ}$. **Допущение:** В условии 2-го задания на чертеже угол $x$ обозначен как $\angle BAE$. Исходя из геометрии параллельных прямых $BC$ и $AD$, расчет произведен для этого угла.