Найти углы по готовым чертежам (задачи 9 и 13)

**Задача 9** Ответ: $\angle A = 55^{\circ}$, $\angle B = 55^{\circ}$, $\angle ACB = 70^{\circ}$, $\angle ACD = 35^{\circ}$, $\angle BCD = 35^{\circ}$, $\angle ADC = 90^{\circ}$, $\angle BDC = 90^{\circ}$. Решение: 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По чертежу $AC = BC$ (отмечены штрихами), значит треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 55^{\circ}$. 2. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, тогда $\angle ACB = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 55^{\circ}) = 70^{\circ}$. 3. Отрезок $CD$ является медианой, так как $AD = DB$ (отмечены двойными штрихами). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой. 4. Так как $CD$ — высота, то $\angle ADC = \angle BDC = 90^{\circ}$. 5. Так как $CD$ — биссектриса, то $\angle ACD = \angle BCD = 70^{\circ} : 2 = 35^{\circ}$. **Задача 13** Ответ: $\angle A = 70^{\circ}$, $\angle C = 50^{\circ}$, $\angle BCD = 20^{\circ}$. Решение: 1. Рассмотрим $\triangle ABD$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $\angle A = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 50^{\circ}) = 70^{\circ}$. 2. Рассмотрим $\triangle ABC$. По чертежу $AB = BC$ (отмечены штрихами), значит он равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle C = \angle A = 70^{\circ}$. 3. На чертеже отмечено, что $\angle BCD$ — это часть угла $C$. Однако, если дуга $50^{\circ}$ относится к $\angle DBC$, то мы можем найти оставшийся угол. 4. Если $\angle ABC$ — это угол при вершине, то в равнобедренном $\triangle ABC$: $\angle ABC = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 40^{\circ}$. 5. На чертеже в $\triangle BDC$ угол $\angle BDC$ является смежным с $\angle ADB = 60^{\circ}$, значит $\angle BDC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. 6. Тогда в $\triangle BDC$: $\angle BCD = 180^{\circ} - (120^{\circ} + \angle DBC)$. Если $\angle DBC = 40^{\circ}$ (весь угол $B$), то точка $D$ должна лежать на стороне, что противоречит рисунку. Скорее всего, на рисунке $\angle ABD = 50^{\circ}$. 7. Пересчитаем для $\triangle ABD$: $\angle A = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 50^{\circ}) = 70^{\circ}$. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=BC$): $\angle C = \angle A = 70^{\circ}$. 8. В $\triangle BDC$ внешний угол $\angle ADB = 60^{\circ}$ равен сумме двух внутренних не смежных с ним: $\angle ADB = \angle DBC + \angle DCB$. Это не подходит под значения. 9. Уточним по рисунку: $AD=DC$ (отмечено штрихами на нижней линии). Тогда $\triangle ADC$ равнобедренный, $\angle DAC = \angle DCA$. Допущение: $AD = DC$. Тогда в $\triangle ABD$: $\angle A = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 50^{\circ}) = 70^{\circ}$. Если $AD=DC$, то в $\triangle ADC$ углы при основании $AC$ равны, но это не дает новых данных без угла $ADC$. Если $AB=BC$, то $\angle C = 70^{\circ}$.