Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в 2 раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в 3 раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

Ответ: 40^{\circ}, 70^{\circ}, 70^{\circ}. Решение: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим угол при основании как $x$, тогда второй угол при основании тоже $x$, а угол при вершине (противолежащий основанию) — $y$. По условию задачи а) угол при основании в 2 раза больше угла, противолежащего основанию: $x = 2y$ Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$: $x + x + y = 180^{\circ}$ $2x + y = 180^{\circ}$ Подставим выражение для $x$ в уравнение суммы углов: $2 \cdot (2y) + y = 180^{\circ}$ $4y + y = 180^{\circ}$ $5y = 180^{\circ}$ $y = 180^{\circ} : 5$ $y = 36^{\circ}$ (угол при вершине) Теперь найдем углы при основании: $x = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$ **Допущение:** В тексте задачи 232 под буквой а) обычно подразумевается стандартная задача, где сумма должна быть 180. Если рассматривать вариант б), где угол при основании в 3 раза меньше внешнего смежного с ним: Пусть внешний угол при основании равен $\beta$, тогда внутренний угол при основании $\alpha = 180^{\circ} - \beta$. По условию $\alpha = \frac{\beta}{3} \Rightarrow \beta = 3\alpha$. $3\alpha + \alpha = 180^{\circ} \Rightarrow 4\alpha = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha = 45^{\circ}$. Тогда углы треугольника: $45^{\circ}, 45^{\circ}$ и $180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$.