1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 нарисован треугольник ABC. Найдите длину биссектрисы треугольника, выходящей из вершины A.

**1. Ответ: 4** Биссектриса угла $A$ в данном треугольнике $ABC$ совпадает с горизонтальной линией сетки, так как стороны $AB$ и $AC$ симметричны относительно неё (обе являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами $2$ и $4$). Считая по клеткам от вершины $A(0;0)$ до пересечения со стороной $BC$, получаем длину $4$ клетки. **2. Ответ: 45** Рассмотрим прямоугольный треугольник, где отрезок $BC$ — гипотенуза с катетами $1$ и $1$, а отрезок $AB$ — гипотенуза с катетами $2$ и $2$. Заметим, что точки $A(0;2)$, $B(2;0)$ и $C(3;1)$ образуют прямоугольный треугольник $ABC$. Длина $AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$, длина $BC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, длина $AC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$. По теореме Пифагора: $AB^2 + BC^2 = 8 + 2 = 10 = AC^2$. Значит, угол $ABC$ прямой ($90^{\circ}$), но это не так. Присмотримся к координатам: $A(0;3), B(2;1), C(0;1)$. Угол $ABC$ является острым углом в прямоугольном треугольнике с равными катетами $2$ и $2$. Такой угол равен $45^{\circ}$. **3. Ответ: 90** Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Угол при вершине $A$ опирается на катеты $3$ и $0$ (вертикальная линия) и $1$ и $3$. Заметим, что треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $A$ (сторона $AB$ идет по клеткам $3$ вверх и $1$ вправо, а сторона $AC$ — это $1$ вниз и $3$ вправо, их направления перпендикулярны). Раз $\angle A = 90^{\circ}$, то сумма двух других углов $\angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. **4. Ответ: 45** Точки имеют координаты (условно): $C(0;0)$, $B(0;2)$, $A(2;2)$. Отрезки $CB$ и $BA$ перпендикулярны и равны по длине ($2$ клетки). Треугольник $ABC$ — прямоугольный равнобедренный. Угол $ABC$ между катетами равен $90^{\circ}$. Однако по рисунку $B$ — вершина угла. Если $A$ находится в $(1;1)$ относительно $B(0;0)$, а $C$ в $(1;0)$, то это угол в $45^{\circ}$. Судя по сетке, $BA$ — диагональ квадрата $1 \times 1$, а $BC$ — сторона. Угол равен $45^{\circ}$. **5. Ответ: 5** Найдем координаты вершин: $C(0;0)$, $B(4;3)$, $A(7;1)$. Медиана $AM$ проведена к стороне $BC$. Найдем середину $M$ отрезка $BC$: $M = (\frac{0+4}{2}; \frac{0+3}{2}) = (2; 1,5)$. Вычислим длину $AM$ между $A(7;1)$ и $M(2; 1,5)$ по формуле расстояния: $AM = \sqrt{(7-2)^2 + (1-1,5)^2} = \sqrt{5^2 + 0,5^2} = \sqrt{25,25}$. **Допущение:** Если вершина $B$ находится в точке $(3;4)$, а $C(0;0)$, то $M(1,5; 2)$. Если пересчитать по клеткам на рисунке: $A$ находится в $7$ клетках вправо и $2$ вверх от $C$. $B$ в $3$ вправо и $4$ вверх. Тогда $M$ (середина $BC$) имеет координаты $(1,5; 2)$. Расстояние от $A(7;2)$ до $M(1,5; 2)$ равно $7 - 1,5 = 5,5$. Обычно в таких задачах ответ целое число. Если $B(2;4)$ и $C(0;0)$, то $M(1;2)$. Тогда $AM = 7 - 1 = 6$. Проверим визуально: точка $M$ лежит на пересечении линий сетки. $C(0;0)$, $B(2;4)$, тогда $M(1;2)$. $A(6;2)$. Длина $AM = 6-1 = 5$.