На рисунке 128 CE=ED, BE=EF и KE||AF. Докажите, что KE||BC.

**Задача 218** **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle BCE$ и $\triangle FDE$: - $CE = ED$ (по условию); - $BE = EF$ (по условию); - $\angle BEC = \angle FED$ (как вертикальные). Следовательно, $\triangle BCE = \triangle FDE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle CBE = \angle DFE$. 3. Углы $\angle CBE$ и $\angle DFE$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AF$ и секущей $BF$. Так как они равны, то $BC \parallel AF$ (по признаку параллельности прямых). 4. По условию $KE \parallel AF$. 5. Так как $BC \parallel AF$ и $KE \parallel AF$, то по свойству параллельных прямых (две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу) получаем: $KE \parallel BC$. Что и требовалось доказать. **Задача 219** **Доказательство:** 1. Пусть $O$ — середина биссектрисы $AD$. По условию прямая $MO \perp AD$. 2. В треугольнике $AMD$ отрезок $MO$ является медианой (так как $AO = OD$) и высотой (так как $MO \perp AD$). Следовательно, $\triangle AMD$ — равнобедренный с основанием $AD$ ($AM = MD$). 3. В равнобедренном треугольнике $AMD$ углы при основании равны: $\angle MAD = \angle MDA$. 4. Так как $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$, то $\angle MAD = \angle DAB$. 5. Из равенств $\angle MAD = \angle MDA$ и $\angle MAD = \angle DAB$ следует, что $\angle MDA = \angle DAB$. 6. Углы $\angle MDA$ и $\angle DAB$ являются накрест лежащими при прямых $MD$ и $AB$ и секущей $AD$. Так как эти углы равны, то $MD \parallel AB$. Что и требовалось доказать.