Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AB1 и BC1. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) катеты: AC = 6, BC = 8. Из вершины прямого угла C к плоскости треугольника проведен перпендикуляр CO длиной 12. Найдите длины наклонных OA и OB.

**Задача С1** **Дано:** $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб; $a$ — ребро куба. **Найти:** угол между $AB_1$ и $BC_1$. **Решение:** а) Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC_1$, перенесем одну из них параллельно до пересечения с другой. Прямая $BC_1$ параллельна прямой $AD_1$. Значит, искомый угол равен углу между $AB_1$ и $AD_1$ в треугольнике $AB_1D_1$. б) В кубе все грани — квадраты со стороной $a$. Отрезки $AB_1$, $B_1D_1$ и $AD_1$ являются диагоналями граней куба. По теореме Пифагора для квадрата: $d = a\sqrt{2}$. Значит, $AB_1 = B_1D_1 = AD_1 = a\sqrt{2}$. в) Так как все стороны треугольника $AB_1D_1$ равны, он является равносторонним. По теореме косинусов для $\angle B_1AD_1$: $B_1D_1^2 = AB_1^2 + AD_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot AD_1 \cdot \cos\angle B_1AD_1$ $(a\sqrt{2})^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos\angle B_1AD_1$ $2a^2 = 4a^2 - 4a^2 \cdot \cos\angle B_1AD_1$ $4a^2 \cdot \cos\angle B_1AD_1 = 2a^2$ $\cos\angle B_1AD_1 = \frac{2a^2}{4a^2} = 0,5$ $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$. --- **Задача С2** **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$; $AC = 6, BC = 8$; $CO \perp (ABC)$, $CO = 12$. **Найти:** а) $OA, OB$; б) $\cos\angle OAC$. **Решение:** а) Так как $CO$ — перпендикуляр к плоскости, то $\triangle OCA$ и $\triangle OCB$ — прямоугольные ($\angle OCA = \angle OCB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $OA = \sqrt{AC^2 + CO^2} = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ $OB = \sqrt{BC^2 + CO^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}$ б) В прямоугольном $\triangle OCA$: $\cos\angle OAC = \frac{AC}{OA} = \frac{6}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0,447$ в) Угол $\angle OAC$ называется углом наклона прямой $OA$ к плоскости треугольника (или к прямой $AC$). **Ответ:** а) $OA = 6\sqrt{5}$, $OB = 4\sqrt{13}$; б) $\frac{\sqrt{5}}{5}$.