Решите уравнение $\sin^2 4x + \sin^2 2x = \frac{9}{16}$

**Ответ:** $x = \pm \frac{1}{4} \arccos \left( \frac{1}{4} \right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$ **Решение:** Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $\frac{1 - \cos 8x}{2} + \frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{9}{16}$ Умножим всё уравнение на 2: $1 - \cos 8x + 1 - \cos 4x = \frac{9}{8}$ $2 - \cos 8x - \cos 4x = 1.125$ $\cos 8x + \cos 4x = 0.875$ Применим формулу двойного угла $\cos 8x = 2\cos^2 4x - 1$: $2\cos^2 4x - 1 + \cos 4x = \frac{7}{8}$ $2\cos^2 4x + \cos 4x - \frac{15}{8} = 0$ Умножим на 8 для удобства: $16\cos^2 4x + 8\cos 4x - 15 = 0$ Пусть $t = \cos 4x$, где $|t| \le 1$: $16t^2 + 8t - 15 = 0$ $D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-15) = 64 + 960 = 1024 = 32^2$ $t_1 = \frac{-8 + 32}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 0.75$ $t_2 = \frac{-8 - 32}{32} = -\frac{40}{32} = -1.25$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) Вернемся к замене: $\cos 4x = \frac{3}{4}$ $4x = \pm \arccos \left( \frac{3}{4} \right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{1}{4} \arccos \left( \frac{3}{4} \right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$