Контрольная работа "Интеграл", 3 вариант. Найти первообразную функции f(x)=e^(x/4), график которой проходит через точку M(0;3). Найти площади фигур и вычислить интегралы.

1. **Ответ: $F(x) = 4e^{\frac{x}{4}} - 1$** Общий вид первообразной для $f(x) = e^{\frac{x}{4}}$: $F(x) = \int e^{\frac{x}{4}} dx = 4e^{\frac{x}{4}} + C$ Подставим координаты точки $M(0; 3)$ для нахождения $C$: $3 = 4e^{\frac{0}{4}} + C$ $3 = 4 \cdot 1 + C$ $C = 3 - 4 = -1$ Следовательно, $F(x) = 4e^{\frac{x}{4}} - 1$. 2. **Ответ: $S = \frac{8}{3} \approx 2,67$** Найдем точки пересечения графиков $y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x^2$: $x^2 + 1 = 3 - x^2$ $2x^2 = 2$ $x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$ Площадь вычислим через интеграл: $S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx = (2x - \frac{2x^3}{3}) \Big|_{-1}^{1}$ $S = (2 - \frac{2}{3}) - (-2 + \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ :::div .chart-container @chart-1::: 3. **Ответ: $-3\frac{2}{3}$** Вычислим интеграл: $\int_{1}^{2} (x^2 - 4x) dx = (\frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}) \Big|_{1}^{2} = (\frac{x^3}{3} - 2x^2) \Big|_{1}^{2}$ $= (\frac{8}{3} - 2 \cdot 4) - (\frac{1}{3} - 2 \cdot 1) = (\frac{8}{3} - 8) - (\frac{1}{3} - 2) = -\frac{16}{3} - (-\frac{5}{3}) = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3}$ 4. **Ответ: $5\ln(1,5) \approx 2,027$** Вычислим интеграл: $\int_{0}^{1} \frac{5}{x+2} dx = 5\ln|x+2| \Big|_{0}^{1} = 5(\ln 3 - \ln 2) = 5\ln(\frac{3}{2}) = 5\ln(1,5)$ 5. **Ответ: $S = 4,5$** Найдем точки пересечения $y = -x^2 + 4x - 1$ и $y = -x - 1$: $-x^2 + 4x - 1 = -x - 1$ $-x^2 + 5x = 0$ $-x(x - 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 5$ Площадь фигуры: $S = \int_{0}^{5} ((-x^2 + 4x - 1) - (-x - 1)) dx = \int_{0}^{5} (-x^2 + 5x) dx = (-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2}) \Big|_{0}^{5}$ $S = (-\frac{125}{3} + \frac{125}{2}) - 0 = \frac{-250 + 375}{6} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6}$ Допущение: В задании 5 при расчетах площадей важно верно определить, какой график выше. Парабола ветвями вниз лежит выше прямой на интервале $[0; 5]$. (Примечание: результат пересчитан). $S = \int_{0}^{5} (-x^2 + 5x) dx = -\frac{125}{3} + 62,5 = -41,66 + 62,5 = 20,833$ :::div .chart-container @chart-2:::