Вариант 1. 1. В треугольнике ABC угол С равен 133°. Найдите внешний угол при вершине C. 2. Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. 3. На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 15°. Длина меньшей дуги AB равна 6. Найдите длину большей дуги AB.

1. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$. Внешний угол при вершине $C$ является смежным для внутреннего угла $C$. $180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ}$. Ответ: 47. 2. В прямоугольной трапеции два угла прямые ($90^{\circ}$), а сумма двух других углов (прилежащих к боковой стороне) равна $180^{\circ}$. Если один из них $64^{\circ}$, то второй: $180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ}$. Наибольший угол: $116^{\circ}$. Ответ: 116. 3. Полная окружность составляет $360^{\circ}$. Меньшая дуга $AB$ соответствует центральному углу $\angle AOB = 15^{\circ}$. Большая дуга составляет $360^{\circ} - 15^{\circ} = 345^{\circ}$. Длина дуги пропорциональна её градусной мере: $\frac{6}{15^{\circ}} = \frac{L}{345^{\circ}}$. $L = \frac{6 \cdot 345}{15} = 6 \cdot 23 = 138$. Ответ: 138. 4. Касательные к окружности перпендикулярны радиусам в точках касания, значит $\angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}$. В четырехугольнике $ACBO$ сумма углов $360^{\circ}$, тогда центральный угол $\angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$), поэтому $\angle ABO = (180^{\circ} - \angle AOB) : 2 = (180^{\circ} - 142^{\circ}) : 2 = 38^{\circ} : 2 = 19^{\circ}$. Ответ: 19. 5. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую эта хорда стягивает. Меньшая дуга $AB = 134^{\circ}$. $\angle ABC = 134^{\circ} : 2 = 67^{\circ}$. Ответ: 67. 6. В равнобедренной трапеции ($AB=CD$) углы при основании равны. $\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 38^{\circ} + 32^{\circ} = 70^{\circ}$. Значит, $\angle DAB = 70^{\circ}$. В треугольнике $ABD$ по сумме углов: $\angle ABD = 180^{\circ} - \angle DAB - \angle BDA = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 38^{\circ} = 72^{\circ}$. Ответ: 72. 7. Высота ромба $h = a \cdot \sin(\alpha)$. Если один угол $150^{\circ}$, то острый угол $\alpha = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$. $h = 54 \cdot \sin(30^{\circ}) = 54 \cdot 0,5 = 27$. Ответ: 27. 8. Точка $O$ — центр, значит $OA=OB=OC$ (радиусы). Треугольник $AOB$ равнобедренный, $\angle OBA = (180^{\circ} - 42^{\circ}) : 2 = 69^{\circ}$. $\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 75^{\circ} - 69^{\circ} = 6^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике $BOC$ ($OB=OC$): $\angle BCO = \angle OBC = 6^{\circ}$. Ответ: 6. 9. По теореме синусов: $BC / \sin(A) = 2R$. Третий угол $A = 180^{\circ} - (66^{\circ} + 84^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$. $BC = 18 \cdot \sin(30^{\circ}) = 18 \cdot 0,5 = 9$. Ответ: 9. 10. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник $ABK$. $AB = BK = 10$. В параллелограмме $CD = AB = 10$ и $BC = BK + KC = 10 + 18 = 28$. $AD = BC = 28$. Периметр $P = 2 \cdot (10 + 28) = 2 \cdot 38 = 76$. Ответ: 76. 11. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны: $AD + BC = AB + CD$. $AD + 6 = 11 + 9 \Rightarrow AD = 20 - 6 = 14$. Ответ: 14. 12. По свойству секущих: $KD \cdot KA = KC \cdot KB$. Пусть $AD = x$, тогда $KA = KD + x = 20 + x$. $20 \cdot (20 + x) = 12 \cdot (12 + 5) \Rightarrow 400 + 20x = 12 \cdot 17 \Rightarrow 400 + 20x = 204$. В условии ошибка в данных (произведение внешнего отрезка на всю секущую должно быть одинаковым, здесь $12 \cdot 17 = 204$, что меньше $20^2$). **Допущение: если $BK=5$ и $BC=12$ (вся $KC=17$), а $KD=10$ и $AD=x$**. Проверим: $10 \cdot (10+x) = 5 \cdot 17 \Rightarrow 100+10x = 85$ (снова отрицательно). Если $K$ — точка пересечения, то $KA \cdot KD = KB \cdot KC$. При данных $KB=20, BC=5 \Rightarrow KC=25$. $KD=12$. $12 \cdot (12+AD) = 20 \cdot 25 = 500 \Rightarrow 12+AD = 41,66$. Вероятно, в условии опечатка в числах. 13. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины. $AO = \frac{2}{3} AN = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$. Ответ: 8. 14. По теореме о касательной и секущей: $AK^2 = AB \cdot AC$. $AK^2 = 4 \cdot 64 = 256$. $AK = \sqrt{256} = 16$. Ответ: 16.