1) В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, значит $\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $AC$ лежит против угла в $30^\circ$, поэтому $AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$. По теореме Пифагора $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
**Ответ: $5\sqrt{3}$.**
2) В треугольнике $ADC$ угол $\angle ADC = 90^\circ$, $\angle CAD = 45^\circ$, значит $\angle ACD = 45^\circ$. Треугольник $ADC$ равнобедренный, $AD = CD = 8$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}$. В треугольнике $ABC$ угол $\angle BAC = 45^\circ$ (из чертежа), $\angle C = 90^\circ$, значит $\angle B = 45^\circ$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AC = BC = 8\sqrt{2}$. Гипотенуза $AB = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{128 + 128} = \sqrt{256} = 16$.
**Ответ: 16.**
3) Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$, значит $\angle B = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит против угла $30^\circ$, значит $BC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. В прямоугольном треугольнике $BCE$ ($\angle BEC = 90^\circ$) угол $\angle CBE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $CE$ лежит против угла $30^\circ$, значит $CE = \frac{1}{2} BC = 3$. Тогда $AE = AC - CE = 12 - 3 = 9$.
**Ответ: 9.**
4) В треугольнике $ABD$ высота $BC$ делит основание $AD$ на отрезки $AC = 3.5$ и $CD = 3.5$ (так как $AD=7$). Значит, $BC$ — медиана и высота, поэтому треугольник $ABD$ равнобедренный ($AB=BD=7$). Так как все стороны равны $7$, треугольник $ABD$ — равносторонний. Углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.
**Ответ: $\angle B = 60^\circ$, $\angle D = 60^\circ$.**
5) Внешний угол при вершине $P$ равен $150^\circ$, значит смежный внутренний $\angle P = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BPC$ катет $BC$ лежит против угла $30^\circ$, значит гипотенуза $PB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 9 = 18$. По теореме Пифагора $PC = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}$. В треугольнике $ABC$ (если $\angle ABC = 90^\circ$ по чертежу) $\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В $\triangle BCE$ ($\angle E=90^\circ$), если $\angle CBE = 60^\circ$, то $CE = BC \cdot \sin(60^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.5\sqrt{3}$.
**Ответ: $CE = 4.5\sqrt{3}$, $PC = 9\sqrt{3}$.**
6) $\angle BAB_1 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $AA_1B$ катет $AA_1$ лежит против угла $30^\circ$, значит $AA_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$. В прямоугольном треугольнике $ACA_1$ угол $\angle CAA_1 = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ$. Катет $A_1C$ лежит против угла $30^\circ$, значит $CA_1 = AC \cdot \sin(30^\circ)$. Из $\triangle ACA_1$: $CA_1 = AA_1 \cdot \text{tg}(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.
**Ответ: $CA_1 = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.**
7) В треугольнике $ABC$ отрезок $CM$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AB$ (по чертежу $AM=MB$). В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине, значит $CM = AM = MB$. Тогда треугольник $BCM$ равнобедренный ($BC=CM$ не следует из чертежа, но $BM=MC$ делает $\triangle BMC$ равнобедренным). $\angle B = 70^\circ$. В $\triangle BMC$ углы при основании $BC$ равны: если $BM=MC$, то $\angle MCB = \angle B = 70^\circ$. Тогда $\angle MCA = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.
**Ответ: $20^\circ$.**
8) Треугольник $BDC$ равнобедренный ($BD=DC$ по чертежу), значит $\angle DBC = \angle C = 25^\circ$. Внешний угол $\angle ADB$ треугольника $BDC$ равен сумме внутренних, не смежных с ним: $\angle ADB = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$. Треугольник $ABD$ равнобедренный ($AB=AD$), значит $\angle A = 180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ$. Угол $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50^\circ + 25^\circ = 75^\circ$.
**Ответ: $\angle A = 80^\circ$, $\angle ABC = 75^\circ$.**
