Контрольная работа «Решение систем линейных уравнений». Вариант 1. 1. Решите систему способом подстановки.

На изображении представлены четыре варианта контрольной работы по теме «Системы линейных уравнений». Решу первый вариант. **Вариант 1.** 1. Решите систему способом подстановки: $\begin{cases} y = x + 1 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$ Подставим выражение для $y$ во второе уравнение: $5x - 2(x + 1) = 4 \Rightarrow 5x - 2x - 2 = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$. Найдем $y$: $y = 2 + 1 = 3$. **Ответ: (2; 3).** 2. Решите систему способом сложения: $\begin{cases} 4x + 3y = -15 \\ 5x - 3y = -3 \end{cases}$ Сложим уравнения почленно: $(4x + 5x) + (3y - 3y) = -15 - 3 \Rightarrow 9x = -18 \Rightarrow x = -2$. Подставим $x = -2$ в первое уравнение: $4 \cdot (-2) + 3y = -15 \Rightarrow -8 + 3y = -15 \Rightarrow 3y = -7 \Rightarrow y = -2\frac{1}{3}$. **Ответ: (-2; -2\frac{1}{3}).** 3. Составьте уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки $A(1; 1)$ и $B(-3; 13)$. Подставим координаты точек в уравнение: $\begin{cases} 1 = k \cdot 1 + b \\ 13 = k \cdot (-3) + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k + b = 1 \\ -3k + b = 13 \end{cases}$ Вычтем из первого уравнения второе: $k - (-3k) = 1 - 13 \Rightarrow 4k = -12 \Rightarrow k = -3$. Найдем $b$: $-3 + b = 1 \Rightarrow b = 4$. **Ответ: y = -3x + 4.** 4. Из корзины в 8 пакетов и 5 сеток разложили 151 кг груш. Сколько килограммов груш в одном пакете и в одной сетке, если 3 пакета груш весят на 3 кг больше, чем 2 сетки? Пусть $x$ — кг в пакете, $y$ — кг в сетке. $\begin{cases} 8x + 5y = 151 \\ 3x - 2y = 3 \end{cases}$ Умножим первое на 2, второе на 5: $\begin{cases} 16x + 10y = 302 \\ 15x - 10y = 15 \end{cases} \Rightarrow 31x = 317 \Rightarrow x = 10\frac{7}{31}$. $3 \cdot \frac{317}{31} - 2y = 3 \Rightarrow \frac{951}{31} - 3 = 2y \Rightarrow \frac{951 - 93}{31} = 2y \Rightarrow 2y = \frac{858}{31} \Rightarrow y = \frac{429}{31} = 13\frac{26}{31}$. **Ответ: 10\frac{7}{31} кг и 13\frac{26}{31} кг.** 5. Решите систему удобным способом: $\begin{cases} 12 - 3(x - 2y) = 2y + 4 \\ 4x + 2y = 10 - 2(x - 2y) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12 - 3x + 6y = 2y + 4 \\ 4x + 2y = 10 - 2x + 4y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3x + 4y = -8 \\ 6x - 2y = 10 \end{cases}$ Умножим второе на 2: $\begin{cases} -3x + 4y = -8 \\ 12x - 4y = 20 \end{cases} \Rightarrow 9x = 12 \Rightarrow x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. $6 \cdot \frac{4}{3} - 2y = 10 \Rightarrow 8 - 2y = 10 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1$. **Ответ: (1\frac{1}{3}; -1).**