Контрольная работа № 5. Тема. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 1.

1. Решите уравнение: 1) $4x^2 - 20 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$ 2) $3x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(3x + 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0; x_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$ 3) $x^2 - 5x - 24 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5, x_1 \cdot x_2 = -24 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = -3$ 4) $7x^2 - 22x + 3 = 0. D = (-22)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 484 - 84 = 400. x = \frac{22 \pm 20}{14} \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{7}$ 5) $7x^2 - 6x + 2 = 0. D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20$. Так как $D < 0$, корней нет. 6) $4x^2 + 12x + 9 = 0 \Rightarrow (2x + 3)^2 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -1,5$ 2. По теореме Виета для приведенного уравнения $x^2 + px + q = 0$: $p = -(x_1 + x_2) = -6$, $q = x_1 \cdot x_2 = 4$. **Ответ: $x^2 - 6x + 4 = 0$** 3. Пусть диагональ равна $x$ см. Тогда стороны равны $(x - 6)$ см и $(x - 3)$ см. По теореме Пифагора: $(x - 6)^2 + (x - 3)^2 = x^2 \Rightarrow x^2 - 12x + 36 + x^2 - 6x + 9 = x^2 \Rightarrow x^2 - 18x + 45 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 15, x_2 = 3$. Диагональ $x = 3$ не подходит (сторона $3-6 < 0$). Значит, диагональ 15 см. Стороны: $15 - 6 = 9$ (см) и $15 - 3 = 12$ (см). **Ответ: 9 см, 12 см.** 4. Подставим $x = 4$: $3(4)^2 + b(4) + 4 = 0 \Rightarrow 48 + 4b + 4 = 0 \Rightarrow 4b = -52 \Rightarrow b = -13$. Уравнение: $3x^2 - 13x + 4 = 0$. По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$. $4 \cdot x_2 = \frac{4}{3} \Rightarrow x_2 = \frac{1}{3}$. **Ответ: $b = -13, x_2 = \frac{1}{3}$.** 5. Уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю. $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 64 - 8a = 0 \Rightarrow 8a = 64 \Rightarrow a = 8$. **Ответ: $a = 8$.** 6. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -10, x_1 \cdot x_2 = -4$. Используем формулу: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-10)^2 - 2 \cdot (-4) = 100 + 8 = 108$. **Ответ: 108.**