Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника». Вариант 2. № 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

### Контрольная работа № 3 по теме: «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» **Вариант 2** **№ 1.** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $38^{\circ} \times 2 = 76^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$ — угол при вершине. **Ответ:** $104^{\circ}$. **№ 2.** Рассмотрим рисунок 53. Прямые $MK$ и $DN$ пересечены секущей $AK$. 1) $\angle MKA$ и $\angle KAD$ — односторонние углы. Проверим их сумму: $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые $MK \parallel DN$. 2) $\angle CFN$ и $\angle ACF$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $MK \parallel DN$ и секущей $AC$. По свойству параллельных прямых они равны. 3) $\angle CFN = \angle ACF = 44^{\circ}$. **Ответ:** $44^{\circ}$. **№ 3.** Рассмотрим рисунок 54. 1) В $\triangle ABC$: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 36^{\circ}$. Найдем $\angle C$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) В $\triangle CEF$: $\angle E = 24^{\circ}$, $\angle C = 84^{\circ}$ (вертикальный с $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$). 3) Сумма углов в $\triangle CEF$ также $180^{\circ}$. Найдем искомый угол $F$: $\angle F = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$. **Ответ:** $72^{\circ}$. **№ 4.** По рисунку 55: 1) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle BAC = \angle ACD$ (как накрест лежащие при секущей $AC$). 2) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие при секущей $AC$). 3) Сложим эти равенства: $\angle BAC + \angle CAD = \angle ACD + \angle BCA$. Отсюда $\angle A = \angle C$. **Что и требовалось доказать.** **№ 5.** Рассмотрим прямоугольный $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$). 1) Так как $\angle M = 60^{\circ}$, то $\angle F = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. 2) Отрезок $AD$ (в условии, вероятно, опечатка и имеется в виду биссектриса угла $M$ или $F$ в треугольнике $MNF$. Предположим, биссектриса угла $F$ пересекает $MN$ в точке $D$, тогда $FD$ — гипотенуза в $\triangle FND$). **Допущение:** Отрезок $FD = 20$ см является гипотенузой в треугольнике $FND$, где $\angle N = 90^{\circ}$. 3) Биссектриса делит $\angle F$ пополам: $\angle NFD = 30^{\circ} : 2 = 15^{\circ}$. Однако, в задачах такого типа чаще всего используется свойство угла в $30^{\circ}$. Если $FD$ — биссектриса угла $M = 60^{\circ}$, то в треугольнике $MND$: $\angle N = 90^{\circ}$, $\angle NMD = 30^{\circ}$. Катет $ND$, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы: $ND = 20 : 2 = 10$ см. **Недостаточно данных для однозначного решения №5** (неясно, из какого угла проведена биссектриса и к какой стороне).