Вариант 2. 1. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите острые углы треугольника.

1. Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный ($∠C = 90^{\circ}$), $CH$ — высота, $CM$ — медиана, $∠HCM = 18^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $CM = AM = MB$. Значит, $\triangle AMC$ — равнобедренный и $∠A = ∠ACM$. В $\triangle CHM$: $∠CMH = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}$. Так как $∠CMH$ — внешний угол для $\triangle AMC$, то $∠CMH = ∠A + ∠ACM = 2∠A$. $2∠A = 72^{\circ} \Rightarrow ∠A = 36^{\circ}$. Второй острый угол: $90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}$. **Ответ: 36^{\circ} и 54^{\circ}**. 2. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. На рисунке $MK \perp AB$. Следовательно, расстояние равно длине отрезка $MK$. По рисунку $MK = 6$ см. **Ответ: 6 см**. 3. На рисунке $\triangle SBM$ и $\triangle TCM$ — прямоугольные ($SB \perp ST, TC \perp ST$). По условию (чертежу): $SM = MT$ (гипотенузы равны), $∠S = ∠T$ (острые углы равны). Треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует $BM = MC$, значит $M$ — середина $BC$. Также $\triangle ABM = \triangle ACM$ (по двум катетам, если считать $AB=AC$ из симметрии). **Ответ: ┳SBM = ┳TCM по гипотенузе и острому углу**. 4. Пусть меньший катет $a$, гипотенуза $c$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^{\circ}$ (так как второй угол $60^{\circ}$), равен половине гипотенузы: $c = 2a$. По условию $c + a = 60$. $2a + a = 60 \Rightarrow 3a = 60 \Rightarrow a = 20$ (см). $c = 2 ∙ 20 = 40$ (см). **Ответ: 40 см**. 5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}$. Пусть один угол $x$, тогда другой $3x$. $x + 3x = 90 \Rightarrow 4x = 90 \Rightarrow x = 22,5^{\circ}$. Второй угол: $22,5^{\circ} ∙ 3 = 67,5^{\circ}$. **Ответ: 22,5^{\circ} и 67,5^{\circ}**.