Решите задачи на готовых чертежах №17-24 (трапеции, вписанные окружности, средние линии).

На листе представлены геометрические задачи на готовых чертежах. Решим задачи по порядку: **Задача 17** Дано: трапеция $ABCD$, $MN$ — средняя линия, $MN = 68$, $AB - DC = 64$. Найти $OK$ (радиус вписанной окружности). 1. По свойству средней линии трапеции: $MN = \frac{AB + DC}{2}$, откуда $AB + DC = 2 \cdot 68 = 136$. 2. Составим систему уравнений: $\begin{cases} AB + DC = 136 \\ AB - DC = 64 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2AB = 200 \Rightarrow AB = 100$. Тогда $DC = 100 - 64 = 36$. 3. В трапецию вписана окружность, значит, она описанная около неё (если трапеция равнобедренная) или это произвольная трапеция. Однако для нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренную трапецию используется формула высоты $h = \sqrt{AB \cdot DC}$. $h = \sqrt{100 \cdot 36} = \sqrt{3600} = 60$. 4. Радиус $OK$ равен половине высоты: $OK = \frac{h}{2} = \frac{60}{2} = 30$. **Ответ: 30**. **Задача 18** Дано: $P_{QSRM} = 48$, $QM = 18$. Найти $EF$. 1. В четырехугольник вписана окружность, значит, суммы противоположных сторон равны: $QS + RM = SR + QM$. 2. Периметр $P = (QS + RM) + (SR + QM) = 2(SR + QM)$. $48 = 2(SR + 18) \Rightarrow 24 = SR + 18 \Rightarrow SR = 6$. 3. $EF$ — средняя линия трапеции: $EF = \frac{SR + QM}{2} = \frac{6 + 18}{2} = 12$. **Ответ: 12**. **Задача 19** Дано: $AB = 8$, $\angle A = 60^{\circ}$, $CB = 10$. Найти $EF$ (среднюю линию). 1. Опустим высоту из $B$ на $AD$. В прямоугольном треугольнике против угла $30^{\circ}$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, проекция $AB$ на $AD$ равна $8 \cdot \cos(60^{\circ}) = 4$. 2. Так как трапеция прямоугольная (судя по углам у $D$ и $C$), то $AD = 10 + 4 = 14$. 3. $EF = \frac{BC + AD}{2} = \frac{10 + 14}{2} = 12$. **Ответ: 12**. **Задача 20** Дано: $OM = 6, ON = 8$. Найти $EF$. 1. Треугольник $MON$ прямоугольный ($\angle MON = 90^{\circ}$), так как биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. 2. Гипотенуза $MN = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. 3. Радиус вписанной окружности $r$ есть высота из вершины $O$ к гипотенузе: $r = \frac{OM \cdot ON}{MN} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4,8$. 4. Высота трапеции $h = 2r = 9,6$. В равнобедренной трапеции средняя линия $EF$ равна боковой стороне $MN$, если в неё вписана окружность. **Ответ: 10**. **Задача 21** Дано: $AD = 2BC$, радиус $r = 1$. Найти $EF$. 1. Высота трапеции $h = 2r = 2$. 2. В описанной равнобедренной трапеции $AB = CD = \frac{BC + AD}{2}$. 3. $AB = \frac{BC + 2BC}{2} = 1,5BC$. 4. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB$ и катетом-высотой $h$: $h^2 + (\frac{AD - BC}{2})^2 = AB^2$. $2^2 + (\frac{BC}{2})^2 = (1,5BC)^2 \Rightarrow 4 + 0,25BC^2 = 2,25BC^2 \Rightarrow 2BC^2 = 4 \Rightarrow BC = \sqrt{2}$. 5. $EF = \frac{BC + AD}{2} = 1,5BC = 1,5\sqrt{2}$. **Ответ: 1,5\sqrt{2}**.