Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 65° и 41°. Найдите больший из оставшихся углов этого четырехугольника.

1. Свойство вписанного четырёхугольника: суммы противоположных углов равны $180^{\circ}$. Если даны углы $65^{\circ}$ и $41^{\circ}$, они не могут быть противоположными (так как их сумма не $180^{\circ}$), значит, они прилежат к одной стороне. Найдём углы, противоположные данным: $180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$ $180^{\circ} - 41^{\circ} = 139^{\circ}$ Сравним оставшиеся углы: $115^{\circ}$ и $139^{\circ}$. **Ответ: 139**. 2. Площадь треугольника $CDE$ подобна площади $ABC$ с коэффициентом $k = 0,5$ (так как $DE$ — средняя линия). Площади относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_{CDE} = S_{ABC} \cdot k^2 = 31 \cdot 0,25 = 7,75$. Площадь трапеции $ABED = S_{ABC} - S_{CDE} = 31 - 7,75 = 23,25$. **Ответ: 23,25**. 3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, которую стягивает эта хорда. $\angle ABC = 92^{\circ} : 2 = 46^{\circ}$. **Ответ: 46**. 4. В равнобедренном треугольнике с основанием $AB$ углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. Высота $AH$ проведена к боковой стороне $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$: $AH = AB \cdot \sin \angle ABC = AB \cdot \sin \angle BAC = 16\sqrt{15} \cdot 0,25 = 4\sqrt{15}$. **Ответ: 4\sqrt{15}**. 5. В правильном (равностороннем) треугольнике высота $h$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ формулой: $h = 3r$. $h = 3 \cdot 31 = 93$. **Ответ: 93**. 6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) высота $CH$ делит его на подобные треугольники. В треугольнике $BCH$ по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 4^2} = \sqrt{17 - 16} = 1$. Из подобия треугольников $ACH$ и $CBH$: $\text{tg} A = \frac{CH}{AC}$. Также $\text{tg} A = \frac{BC}{AC}$ не совсем верно, используем $\angle A = \angle BCH$: $\text{tg} A = \text{tg} \angle BCH = \frac{BH}{CH} = \frac{1}{4} = 0,25$. **Ответ: 0,25**.