1) Решите уравнение: а) 5x² - 20 = 0; б) 7x² + 9x = 0; в) x² - 2x - 24 = 0; г) 3x² - 22x + 7 = 0; д) 3x² - x + 11 = 0; е) 9x² + 12x + 4 = 0. 2) Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 12, а произведение корней равно числу 10.

1) Решите уравнение: а) $5x^2 - 20 = 0 \Rightarrow 5x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$ б) $7x^2 + 9x = 0 \Rightarrow x(7x + 9) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7}$ в) $x^2 - 2x - 24 = 0$ $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$ $x = \frac{2 \pm 10}{2} \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = -4$ г) $3x^2 - 22x + 7 = 0$ $D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400 = 20^2$ $x = \frac{22 \pm 20}{6} \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ д) $3x^2 - x + 11 = 0$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 1 - 132 = -131$. $D < 0$, корней нет. е) $9x^2 + 12x + 4 = 0$ $D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$ $x = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3}$ 2) По теореме Виета для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p = 12 \Rightarrow p = -12$ $x_1 \cdot x_2 = q = 10$ **Ответ: $x^2 - 12x + 10 = 0$** 3) $2x^2 + 9x + m = 0$, $x_1 = -4$. Подставим $x_1$ в уравнение: $2 \cdot (-4)^2 + 9 \cdot (-4) + m = 0 \Rightarrow 32 - 36 + m = 0 \Rightarrow m = 4$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{9}{2} = -4,5 \Rightarrow -4 + x_2 = -4,5 \Rightarrow x_2 = -0,5$. **Ответ: $x_2 = -0,5; m = 4$** 4) Пусть одна сторона $x$ см, тогда диагональ $(x + 6)$ см, а вторая сторона $(x + 6 - 3) = (x + 3)$ см. По теореме Пифагора: $x^2 + (x + 3)^2 = (x + 6)^2$ $x^2 + x^2 + 6x + 9 = x^2 + 12x + 36 \Rightarrow x^2 - 6x - 27 = 0$ $D = 36 - 4 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$ $x = \frac{6 \pm 12}{2} \Rightarrow x_1 = 9, x_2 = -3$ (не подходит). Стороны: $9$ см и $9 + 3 = 12$ см. **Ответ: 9 см, 12 см** 5) Уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен 0. $D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p = 144 - 8p = 0 \Rightarrow 8p = 144 \Rightarrow p = 18$. **Ответ: при $p = 18$** 6) $x^2 + 12x - 4 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -12$, $x_1 \cdot x_2 = -4$. Используем формулу: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $x_1^2 + x_2^2 = (-12)^2 - 2 \cdot (-4) = 144 + 8 = 152$. **Ответ: 152**