1. Упростите выражение sin(pi/4 + alpha) - 1/sqrt(2) * cos(alpha)

1. Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$: $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$. **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$**. 2. Используем формулу косинуса суммы $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta)$: $\cos 123^\circ\cos 57^\circ - \sin 123^\circ\sin 57^\circ = \cos(123^\circ + 57^\circ) = \cos 180^\circ = -1$. **Ответ: -1**. 3. а) $\cos 6\pi = \cos(3 \cdot 2\pi) = \cos 0 = 1$; б) $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0,5$; в) $\text{ctg}\frac{8\pi}{6} = \text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. **Ответ: а) 1; б) 0,5; в) $\frac{\sqrt{3}}{3}$**. 4. В числителе формула косинуса разности, в знаменателе — синуса суммы: $\frac{\cos\frac{\pi}{30}\cos\frac{\pi}{15} + \sin\frac{\pi}{30}\sin\frac{\pi}{15}}{\sin\frac{7\pi}{30}\cos\frac{4\pi}{15} + \cos\frac{7\pi}{30}\sin\frac{4\pi}{15}} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{30} - \frac{2\pi}{30}\right)}{\sin\left(\frac{7\pi}{30} + \frac{8\pi}{30}\right)} = \frac{\cos\left(-\frac{\pi}{30}\right)}{\sin\frac{15\pi}{30}} = \frac{\cos\frac{\pi}{30}}{\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{\cos\frac{\pi}{30}}{1} = \cos\frac{\pi}{30}$. **Ответ: $\cos\frac{\pi}{30}$**. 7. Применим формулы приведения: $\cos 330^\circ = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ$; $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \cos 30^\circ$: $\frac{\cos(30^\circ - \alpha) - \cos 30^\circ\cos\alpha}{\sin(30^\circ - \alpha) + \cos 30^\circ\sin\alpha} = \frac{\cos 30^\circ\cos\alpha + \sin 30^\circ\sin\alpha - \cos 30^\circ\cos\alpha}{\sin 30^\circ\cos\alpha - \cos 30^\circ\sin\alpha + \cos 30^\circ\sin\alpha} = \frac{\sin 30^\circ\sin\alpha}{\sin 30^\circ\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$. **Ответ: $\text{tg}\alpha$**.