Найдите производные функций 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49.

Для данных функций обычно требуется найти производную $y'$. Применю правила дифференцирования: 19) $y = x - \sin x$ $y' = (x)' - (\sin x)' = 1 - \cos x$ 22) $y = e^x \cos x$ (правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$) $y' = (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$ 25) $y = x \ln x$ $y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ 28) $y = 3 \text{tg} x \cdot \text{ctg} x$ Так как $\text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1$, то $y = 3 \cdot 1 = 3$ $y' = (3)' = 0$ 31) $y = \frac{4}{x^2 + 1}$ (правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$) $y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 4 \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{8x}{(x^2 + 1)^2}$ 34) $y = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ $y' = \frac{(2 - \sqrt{x})'(\sqrt{x} + 1) - (2 - \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)'}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 1) - (2 - \sqrt{x})\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{-1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2}}{(\sqrt{x} + 1)^2} = -\frac{3}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$ 37) $y = \frac{1 - x}{x - 1} = \frac{-(x - 1)}{x - 1} = -1$ (при $x \neq 1$) $y' = (-1)' = 0$ 40) $y = \frac{\sqrt{x^3}}{1 - 4x} = \frac{x^{3/2}}{1 - 4x}$ $y' = \frac{\frac{3}{2}x^{1/2}(1 - 4x) - x^{3/2}(-4)}{(1 - 4x)^2} = \frac{\frac{3}{2}\sqrt{x} - 6x\sqrt{x} + 4x\sqrt{x}}{(1 - 4x)^2} = \frac{\sqrt{x}(1.5 - 2x)}{(1 - 4x)^2}$ 43) $y = \frac{5x^4 - 2x^3 + 3x^2}{\sqrt[3]{x}} = 5x^{4 - 1/3} - 2x^{3 - 1/3} + 3x^{2 - 1/3} = 5x^{11/3} - 2x^{8/3} + 3x^{5/3}$ $y' = 5 \cdot \frac{11}{3}x^{8/3} - 2 \cdot \frac{8}{3}x^{5/3} + 3 \cdot \frac{5}{3}x^{2/3} = \frac{55}{3}x^{8/3} - \frac{16}{3}x^{5/3} + 5x^{2/3}$ 46) $y = \frac{e^x}{x^2}$ $y' = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{xe^x(x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$ 49) $y = \frac{2x^2 + \ln x}{2} = x^2 + \frac{1}{2}\ln x$ $y' = (x^2)' + \frac{1}{2}(\ln x)' = 2x + \frac{1}{2x}$