1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $(180^{\circ} - 56^{\circ}) : 2 = 124^{\circ} : 2 = 62^{\circ}$. **Ответ: 62°**. 2. На рис. 268 прямые $EF$ и $MK$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны ($56^{\circ} = 56^{\circ}$). Угол $MCB = 72^{\circ}$. Угол $CMK$ и угол $MCB$ — односторонние при параллельных прямых $EF, MK$ и секущей $MC$. Их сумма равна $180^{\circ}$. $\angle CMK = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. **Ответ: 108°**. 3. Рассмотрим $\triangle DCF$. Сумма его углов $180^{\circ}$: $\angle DFC = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 64^{\circ}) = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle AEF$. Угол $AEF$ — прямой ($90^{\circ}$), так как это смежный угол к прямому углу (перпендикуляр на рисунке). В $\triangle AEF$: $\angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 158^{\circ} = 22^{\circ}$. **Ответ: 22°**. 4. Рассмотрим $\triangle ADC$. В нём $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle ADC = 60^{\circ}$. Тогда $\angle DAC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}$. Катет $CD$ лежит против угла в $30^{\circ}$, значит гипотенуза $AD = 2 \cdot CD = 2 \cdot 5 = 10$ см. Рассмотрим $\triangle ABD$. $\angle B = 30^{\circ}$. Найдём $\angle DAB$. $\angle BAC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. $\angle DAB = \angle BAC - \angle DAC = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как $\angle DAB = \angle B = 30^{\circ}$, то $\triangle ABD$ — равнобедренный, $BD = AD = 10$ см. $BC = BD + CD = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ: 15 см**.